Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

F
lim
kvk
V
→+∞
F (v) ≥ lim
kvk
V
→+∞
kvk
V
Z
0
(ρ(ξ) − kfk
V
∗
)dξ = +∞.
u
(0)
M k = 0, 1, 2, . . .
u
(k+1)
∈ M(u
(k)
)
hJ(u
(k+1)
− u
(k)
), v − u
(k+1)
i ≥
≥ τhf − Au
(k)
, v − u
(k+1)
i ∀v ∈ M(u
(k)
),
τ > 0 J : V → V
∗
Ψ
hJv, vi = kJvk
V
∗
kvk
V
= Ψ(kvk
V
)kvk
V
∀v ∈ V,
A F M
0 < τ < min{1, 1/µ
0
}, µ
0
= µ(d
0
+ Ψ
−1
(d
1
)),
d
0
= sup
u∈S
0
kuk
V
, d
1
= sup
u∈S
0
kAu − fk
V
∗
,
      Îòìåòèì, ÷òî â ñèëó óñëîâèÿ (1.7) ôóíêöèîíàë F êîýðöèòèâåí:
                                               kvk
                                               Z V
                lim      F (v) ≥      lim           (ρ(ξ) − kf kV ∗ )dξ = +∞.
              kvkV →+∞              kvkV →+∞
                                                0

      Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (1.2) ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé èòåðàöèîííûé
ïðîöåññ, ïîçâîëÿþùèé ñâåñòè åå ê âàðèàöèîííîìó íåðàâåíñòâó ñ îïåðà-
òîðîì äâîéñòâåííîñòè, îáëàäàþùèì ñóùåñòâåííî áîëåå ëó÷øèìè ñâîé-
ñòâàìè ïî ñðàâíåíèþ ñ èñõîäíûì ïñåâäîìîíîòîííûì îïåðàòîðîì.
      Ïóñòü u(0)  ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò èç M . Äëÿ k = 0, 1, 2, . . ., îïðå-
äåëèì u(k+1) ∈ M (u(k) ) êàê ðåøåíèå âàðèàöèîííîãî íåðàâåíñòâà:

                            hJ(u(k+1) − u(k) ), v − u(k+1) i ≥

                      ≥ τ hf − Au(k) , v − u(k+1) i ∀v ∈ M (u(k) ),             (1.10)

ãäå τ > 0 èòåðàöèîííûé ïàðàìåòð, J : V → V ∗ - îïåðàòîð äâîéñòâåí-
íîñòè, ïîðîæäàåìûé ôóíêöèåé Ψ è óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿì (ñì. [1,
ñòð. 185]):

                hJv, vi = kJvkV ∗ kvkV = Ψ(kvkV )kvkV              ∀v ∈ V,      (1.11)

Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ âàðèàöèîííîãî íåðàâåíñòâà
(1.10) ñëåäóåò èç ñòðîãîé ìîíîòîííîñòè è õåìèíåïðåðûâíîñòè îïåðàòîðà
äâîéñòâåííîñòè [1, ñòð. 186-187].
      Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ

      Òåîðåìà 1.1. Ïóñòü îïåðàòîð A, ôóíêöèîíàë F è ìíîæåñòâî M
óäîâëåòâîðÿþò ñôîðìóëèðîâàííûì âûøå óñëîâèÿì, è, êðîìå òîãî,

                 0 < τ < min{1, 1/µ0 },             µ0 = µ(d0 + Ψ−1 (d1 )),     (1.12)

ãäå
                       d0 = sup kukV ,         d1 = sup kAu − f kV ∗ ,
                            u∈S 0                    u∈S 0

                                                9

Страницы