Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

V
(·, ·)
V
M(u) M
u ∈ M ⊆ V
(Au, η − u)
V
≥ (f, η − u)
V
∀η ∈ M(u) ,
f ∈ V A : V → V
L
1
Z
0
(A(t(u + v)), u + v)
V
dt −
1
Z
0
(A(tu), u)
V
dt =
=
1
Z
0
(A(u + tv), v)
V
dt ∀u, v ∈ V,
kAu − Avk
V
≤ Lku − vk
V
∀u, v ∈ V,
η
0
∈ M
(Au, u − η
0
)
V
≥ ρ(kuk
V
)kuk
V
∀u ∈ V,
ρ lim
ξ→+∞
ρ(ξ) = +∞.
u
0
M n = 0, 1, 2, . . .
u
(n+1)
∈ M(u
(n)
)
³
u
(n+1)
− u
(n)
, v − u
(n+1)
´
V
≥
≥ τ
³
f − Au
(n)
, v − u
(n+1)
´
V
∀v ∈ M(u
(n)
),
    Èòàê V -ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì
(·, ·)V , îòîæäåñòâëåííîå ñî ñâîèì ñîïðÿæåííûì, ìíîæåñòâà M (u) è M
óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì, ââåäåííûì ðàíåå â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå (ñì.
(1.1)).
    Ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à ïîèñêà ýëåìåíòà u ∈ M ⊆ V , ÿâëÿþùåãîñÿ
ðåøåíèåì ñëåäóþùåãî êâàçèâàðèàöèîííîãî íåðàâåíñòâà:

                 (Au, η − u)V ≥ (f, η − u)V                            ∀ η ∈ M (u) ,      (2.1)

ãäå f ∈ V  çàäàííûé ýëåìåíò, A : V → V  ïñåâäîìîíîòîííûé, ïîòåíöè-
àëüíûé, ëèïøèö-íåïðåðûâíûé ñ ïîñòîÿííîé L, êîýðöèòèâíûé îïåðàòîð:
             Z1                                                Z1
                  (A(t(u + v)), u + v)V dt −                        (A(tu), u)V dt =
             0                                                 0

                        Z1
                    =        (A(u + tv), v)V dt                     ∀ u, v ∈ V,           (2.2)
                        0
                  kAu − AvkV ≤ Lku − vkV                               ∀ u, v ∈ V,        (2.3)

ñóùåñòâóåò η0 ∈ M , äëÿ êîòîðîãî

                  (Au, u − η0 )V ≥ ρ(kukV )kukV                                ∀ u ∈ V,   (2.4)

ãäå ôóíêöèÿ ρ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ lim ρ(ξ) = +∞.
                                                       ξ→+∞
    Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (2.1) ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé èòåðàöèîííûé
ïðîöåññ.
    Ïóñòü u0  ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò èç M . Äëÿ n = 0, 1, 2, . . ., îïðåäå-
ëèì u(n+1) ∈ M (u(n) ) êàê ðåøåíèå âàðèàöèîííîãî íåðàâåíñòâà:
                            ³                                          ´
                                (n+1)       (n)                (n+1)
                                u         − u ,v − u                           ≥
                                                                           V
                   ³                                   ´
                                    (n)      (n+1)
             ≥ τ f − Au , v − u                                        ∀ v ∈ M (u(n) ),   (2.5)
                                                           V


                                                  15

Страницы