Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

S
0
= {u ∈ M : F (u) 6 F (u
0
)}
F
u
0
∈ S
0
u
(n)
∈ S
0
u
(n+1)
∈ S
0
v = u
(n)
−
1
τ
ku
(n)
− u
(n+1)
k
2
V
≥
³
f − Au
(n)
, u
(n)
− u
(n+1)
´
V
.
t ∈ [0, 1]
|
³
A(u
(n)
+ t(u
(n+1)
− u
(n)
)) − Au
(n)
, u
(n+1)
− u
(n)
´
V
| ≤
≤ kA(u
(n)
+ t(u
(n+1)
− u
(n)
)) − Au
(n)
k
V
ku
(n)
− u
(n+1)
k
V
≤
≤ L t ku
(n)
− u
(n+1)
k
2
V
.
F (u
(n+1)
) − F (u
(n)
) =
1
Z
0
³
A(u
(n)
+ t(u
(n+1)
− u
(n)
)), u
(n+1)
− u
(n)
´
V
dt −
³
f, u
(n+1)
− u
(n)
´
V
=
=
1
Z
0
³
A(u
(n)
+ t(u
(n+1)
− u
(n)
)) − Au
(n)
, u
(n+1)
− u
(n)
´
V
dt+
+
³
f − Au
(n)
, u
(n)
− u
(n+1)
´
V
.
F (u
(n+1)
) − F (u
(n)
) ≤
≤
1
Z
0
¯
¯
¯
³
A(u
(n)
+ t(u
(n+1)
− u
(n)
)) − Au
(n)
, u
(n+1)
− u
(n)
´
V
¯
¯
¯
dt−
−
1
τ
ku
(n)
− u
(n+1)
k
2
V
≤ ku
(n)
− u
(n+1)
k
2
V
1
Z
0
tdt−
ãäå S0 = {u ∈ M : F (u) 6 F (u0 )}  îãðàíè÷åííîå (â ñèëó êîýðöèòèâíîñòè
ôóíêöèîíàëà F ) ìíîæåñòâî.
     Ïî îïðåäåëåíèþ u0 ∈ S0 . Ïóñòü u(n) ∈ S0 , äîêàæåì, ÷òî òîãäà è
u(n+1) ∈ S0 .
     Ïîëüçóÿñü (2.5) ñ v = u(n) , ïîëó÷àåì
           1 (n)           ³                    ´
                  (n+1) 2         (n) (n) (n+1)
          − ku − u     kV ≥ f − Au , u − u         .                                                              (2.10)
           τ                                     V

     Èç (2.3) âûòåêàåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî t ∈ [0, 1]
                 ³                                                                              ´
                        (n)           (n+1)        (n)          (n)         (n+1)         (n)
              | A(u           + t(u              − u )) − Au , u                    −u                  |≤
                                                                                                    V

         ≤ kA(u(n) + t(u(n+1) − u(n) )) − Au(n) kV ku(n) − u(n+1) kV ≤

                                           ≤ L t ku(n) − u(n+1) k2V .                                             (2.11)

     Äàëåå, èç (2.8) èìååì

                                           F (u(n+1) ) − F (u(n) ) =
 Z1 ³                                                               ´           ³                 ´
             (n)             (n+1)         (n)     (n+1)      (n)                     (n+1)   (n)
        A(u          + t(u           − u )), u             −u               dt − f, u       −u      =
                                                                        V                                         V
 0
              Z1 ³                                                                                  ´
                             (n)       (n+1)         (n)            (n)       (n+1)         (n)
         =            A(u          + t(u          − u )) − Au , u                     −u                    dt+
                                                                                                        V
              0
                                     ³                     ´
                                            (n) (n)  (n+1)
                                    + f − Au , u − u         .
                                                                              V
Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ (2.10) è (2.11), ïîëó÷àåì

                                           F (u(n+1) ) − F (u(n) ) ≤
         Z1 ¯³                                         ´ ¯
            ¯  (n)   (n+1)    (n)     (n) (n+1)    (n)   ¯
        ≤ ¯ A(u + t(u      − u )) − Au , u      −u       ¯ dt−
                                                                                                        V
             0
                                                                                    Z1
                      1
                     − ku(n) − u(n+1) k2V ≤ ku(n) − u(n+1) k2V                            tdt−
                      τ
                                                                                      0

                                                         17

Страницы