Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x
3
= ϕ(x
1
, x
2
) ϕ
ϕ ∈ C
1
(R
2
) ,
ξ
3
(α) ≥ ϕ(ξ
1
(α), ξ
2
(α)) , α ∈
¯
Ω.
F : R
3
→
R
1
F (x
1
, x
2
, x
3
) = ϕ(x
1
, x
2
) ,
∇F (x) =
µ
∂F
∂x
1
,
∂F
∂x
2
,
∂F
∂x
3
= (∂
1
ϕ(x
1
, x
2
), ∂
2
ϕ(x
1
, x
2
), 0).
N : R
3
→ R
3
N(x
1
, x
2
, x
3
) =
ν(x
1
, x
2
)
|ν(x
1
, x
2
)|
, x ∈ R
3
,
ν = [τ
1
, τ
2
] , τ
1
= (1, 0, ∂
1
ϕ(x
1
, x
2
)) , τ
2
= (0, 1, ∂
2
ϕ(x
1
, x
2
))
|ν(x
1
, x
2
) | =
=
q
(∂
1
ϕ(x
1
, x
2
))
2
+ (∂
2
ϕ(x
1
, x
2
))
2
+ 1 > 0 ∀(x
1
, x
2
) ∈ R
2
.
∼
M
=
©
v :
¯
Ω → R
3
, v
3
(α) ≥ F (v(α)), α ∈
¯
Ω , v |
Γ
= ξ |
Γ
ª
.
∼
M
    Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âî ââåäåííîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïî-
âåðõíîñòü ïðåïÿòñòâèÿ çàäàåòñÿ â âèäå x3 = ϕ(x1 , x2 ), ãäå ϕ  íåïðåðûâ-
íî-äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ:

                                      ϕ ∈ C1 (R 2 ) ,                             (3.7)

è îáîëî÷êà íàõîäèòñÿ "íàä ïðåïÿòñòâèåì", òî åñòü

                         ξ3 (α) ≥ ϕ(ξ1 (α), ξ2 (α)) ,       α ∈ Ω̄.

    Äëÿ óäîáñòâà èçëîæåíèÿ ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèþ F : R 3 →
R 1 ïðè ïîìîùè ñîîòíîøåíèÿ

                        F (x1 , x2 , x3 ) = ϕ(x1 , x2 ) ,                         (3.8)
                 µ               ¶
                   ∂F ∂F ∂F
        ∇F (x) =      ,   ,          = (∂1 ϕ(x1 , x2 ), ∂2 ϕ(x1 , x2 ), 0).       (3.9)
                   ∂x1 ∂x2 ∂x3
Îáîçíà÷èì òàêæå ÷åðåç N : R 3 → R 3 âåêòîð-ôóíêöèþ, ñâÿçàííóþ ñ
åäèíè÷íîé âíåøíåé íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè ïðåïÿòñòâèÿ ôîðìóëîé
                                               ν(x1 , x2 )
                        N (x1 , x2 , x3 ) =                 , x ∈ R 3,           (3.10)
                                              |ν(x1 , x2 )|
ãäå ν = [τ1 , τ2 ] , τ1 = (1, 0, ∂1 ϕ(x1 , x2 )) , τ2 = (0, 1, ∂2 ϕ(x1 , x2 )), è âûïîë-
íåíî íåðàâåíñòâî
                                      | ν(x1 , x2 ) | =
        q
    =       (∂1 ϕ(x1 , x2 ))2 + (∂2 ϕ(x1 , x2 ))2 + 1 > 0 ∀ (x1 , x2 ) ∈ R 2 .   (3.11)

    Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ êîíôèãóðàöèé îáî-
ëî÷êè:
     ∼  ©          3
                                                             ª
     M = v : Ω̄ → R , v3 (α) ≥ F (v(α)), α ∈ Ω̄ , v |Γ = ξ |Γ .                  (3.12)
                                ∼
Ôóíêöèè èç ìíîæåñòâà M îïèñûâàþò ïîâåðõíîñòè, íàõîäÿùèåñÿ "íàä
ïðåïÿòñòâèåì" è óäîâëåòâîðÿþùèå ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ.

                                               22

Страницы