Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

η
∼
M
(w) Ω
Z
Ω
(D(w), η) dα +
Z
Ω
³
√
G βN(w), η
´
dα = 0.
α ∈ I
−
(w)
³
√
G βN(w), η
´
= 0.
α ∈ I(w) η ∈
∼
M
(w) w + t η ∈
∼
M
t ∈ [0, t
η
] F (w) + t η
3
= w
3
+ t η
3
≥ F (w + t η),
t η
3
≥ F (w + t η) − F (w) = t (η, ∇F (w)) + o(t).
t > 0
α ∈ I(w) t → +0 ([τ
1
, τ
2
], η) =
η
3
−(η, ∇F (w)) ≥ 0
³
√
G βN(w), η
´
≥ 0 , α ∈ I(w).
w
Z
Ω
(D(w(α)), η(α)) dα ≤ 0 ∀η ∈
∼
M
(w).
w
∼
M
w
Óìíîæèì ñêàëÿðíî óðàâíåíèå (3.15) íà ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ η èç
              ∼
ìíîæåñòâà M (w) è çàòåì ïðîèíòåãðèðóåì ïî ìíîæåñòâó Ω :
                  Z                    Z ³√               ´
                      (D(w), η) dα +            G βN (w), η dα = 0.     (3.17)
                  Ω                    Ω

      Äëÿ α ∈ I − (w) èç (3.14) ñëåäóåò, ÷òî
                                ³√               ´
                                     G βN (w), η = 0.                   (3.18)

                                            ∼                          ∼
      Äëÿ α ∈ I(w), ïîñêîëüêó η ∈M (w) (è çíà÷èò, w + t η ∈M äëÿ
t ∈ [0, tη ]), èìååì: F (w) + t η3 = w3 + t η3 ≥ F (w + t η), îòêóäà ïîëó÷àåì,
÷òî
               t η3 ≥ F (w + t η) − F (w) = t (η, ∇F (w)) + o(t).       (3.19)

      Ðàçäåëèâ íåðàâåíñòâî (3.19) íà t > 0 è ïåðåõîäÿ, ïðè ôèêñèðîâàííîì
α ∈ I(w), ê ïðåäåëó ïðè t → +0, ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî ([τ1 , τ2 ], η) =
η3 − (η, ∇F (w)) ≥ 0. Èç ýòîãî íåðàâåíñòâà ñ ó÷åòîì (3.10) âûòåêàåò, ÷òî
                     ³√            ´
                        G βN (w), η ≥ 0 , α ∈ I(w).               (3.20)

      Òàêèì îáðàçîì, èç (3.17), (3.18), (3.20) ñëåäóåò, ÷òî åñëè w  ðåøåíèå
çàäà÷è (3.15), òî âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî:
                      Z
                                                          ∼
                          (D(w(α)), η(α)) dα ≤ 0 ∀ η ∈M (w).            (3.21)
                      Ω

      Ïîä âàðèàöèîííîé ïîñòàíîâêîé ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è áóäåì ïîíè-
                                                              ∼
ìàòü ñëåäóþùåå: íàéòè ôóíêöèþ w èç ìíîæåñòâà M óäîâëåòâîðÿþùóþ
íåðàâåíñòâó (3.21).
      Ïðåäûäóùèå ðàññóæäåíèÿ ïîêàçàëè, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ w ÿâëÿåòñÿ
ðåøåíèåì ïîòî÷å÷íîé çàäà÷è (3.15), òî îíà ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì è âàðèà-
öèîííîé çàäà÷è.



                                           24

Страницы