Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ε > 0 ω
ε
∈ C
∞
(R
2
)
0 ≤ ω
ε
(α) ≤ 1, ω
ε
(α) = 1, α ∈ B
ε/3
(0), ω
ε
(α) = 0, α 6∈ B
ε
(0),
η(α) = ε ω
ε
(α − α
∗
)g α ∈ Ω
η ∈
∼
M
(w) ε > 0
t ∈ [ 0, 1 ]
F
w
3
(α) + tη
3
(α) −F (w(α) + tη(α)) = w
3
(α) + t ε ω
ε
(α −α
∗
) g
3
−
−
¡
F (w(α)) + t ε ω
ε
(α −α
∗
) (g, ∇F (w(α)) + c(α) (t ε ω
ε
(α −α
∗
))
2
¢
=
= w
3
(α) −F (w(α))+
+t ε ω
ε
(α −α
∗
)
µ
(N(w(α)), g)|ν(w(α))| − c(α) t ε ω
ε
(α −α
∗
)
,
c(α) = (∇
2
F (x(α))g, g) x(α) = w(α) + θ(α)η(α) , θ(α) ∈ [0, 1]
|c(α)| ≤ c
0
α ∈ B
ε
(α
∗
)
ε ≤ min{ε
0
, δ/(2 c
0
)}
(N(w(α)), g)|ν(w(α))| − c(α) t ε ω
ε
(α −α
∗
) ≥ δ − c
0
δ/(2c
0
) = δ/2 > 0.
α 6∈ B
ε
(α
∗
) ω
ε
(α −α
∗
) = 0
t ε ω
ε
(α −α
∗
) ((N(w(α)), g)|ν(w(α))| − c(α) t ε ω
ε
(α −α
∗
)) = 0.
w ∈
∼
M
w
3
(α) ≥ F(w(α))
t ∈ [0, 1]
w
3
(α) + tη
3
(α) −F (w(α) + tη(α)) ≥ 0, α ∈
¯
Ω,
η ∈
∼
M
(w)
    Äàëåå, äëÿ ε > 0 ââåäåì ôóíêöèþ ωε ∈ C ∞ (R2 ) ñî ñâîéñòâàìè (ñì.,
íàïðèìåð, [13, ñòð. 89]):

      0 ≤ ωε (α) ≤ 1, ωε (α) = 1, α ∈ Bε/3 (0), ωε (α) = 0, α 6∈ Bε (0),

è îïðåäåëèì âåêòîð-ôóíêöèþ η(α) = ε ωε (α − α∗ )g , α ∈ Ω. Óñòàíîâèì,
        ∼
÷òî η ∈M (w) äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ ε > 0.
    Ïðè ëþáûõ t ∈ [ 0, 1 ], èñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèå â ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèè
F , èìååì:

     w3 (α) + tη3 (α) − F (w(α) + tη(α)) = w3 (α) + t ε ωε (α − α∗ ) g3 −
   ¡                                                                    ¢
  − F (w(α)) + t ε ωε (α − α∗ ) (g, ∇F (w(α)) + c(α) (t ε ωε (α − α∗ ))2 =

                            = w3 (α) − F (w(α))+
                    µ                                                 ¶
                ∗                                                 ∗
  +t ε ωε (α − α ) (N (w(α)), g)|ν(w(α))| − c(α) t ε ωε (α − α )          ,   (3.27)

ãäå c(α) = (∇2 F (x(α))g, g), x(α) = w(α) + θ(α)η(α) , θ(α) ∈ [0, 1].
    Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî |c(α)| ≤ c0 ïðè α ∈ Bε (α∗ ), èç íåðàâåíñòâà (3.26)
äëÿ ε ≤ min{ε0 , δ/(2 c0 )} ïîëó÷àåì:

 (N (w(α)), g)|ν(w(α))| − c(α) t ε ωε (α − α∗ ) ≥ δ − c0 δ/(2c0 ) = δ/2 > 0.

Äëÿ α 6∈ Bε (α∗ ) èìååì ωε (α − α∗ ) = 0, à çíà÷èò,

     t ε ωε (α − α∗ ) ((N (w(α)), g)|ν(w(α))| − c(α) t ε ωε (α − α∗ )) = 0.
                                        ∼
    Òàêèì îáðàçîì, ïîñêîëüêó w ∈M (òî åñòü w3 (α) ≥ F (w(α))), òî èç
(3.27) ñëåäóåò, ÷òî ïðè t ∈ [0, 1]

             w3 (α) + tη3 (α) − F (w(α) + tη(α)) ≥ 0,      α ∈ Ω̄,
                ∼
è ïîýòîìó η ∈M (w).



                                      26

Страницы