Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

w
∼
M
β
β(α) =
|D(w(α))|
|[∂
1
w(α), ∂
2
w(α)] |
, α ∈
¯
Ω.
w β
D(w(α)) = −|D(w(α)) | N(w(α)) , α ∈ I(w).
α
∗
∈ I(w)
g = (g
1
, g
2
, g
3
)
g =
D(w
∗
)/|D(w
∗
) | + N(w
∗
)
|D(w
∗
)/|D(w
∗
) | + N(w
∗
) |
, w
∗
= w(α
∗
).
(g, D(w
∗
)/|D(w
∗
)|) > 0 , (g, N(w
∗
)) > 0.
a b
a 6= −b (a, b) > −1 c = (a + b)/|a + b|
(a, c) > 0 (b, c) > 0
(a, c) =
(a, a + b)
|a + b|
=
1 + (a, b)
|a + b|
= (b, c) > 0.
δ, ε
0
> 0
(g, D(w(α))) > δ, α ∈ B
ε
0
(α
∗
),
(g, N(w(α))) |ν(w(α)) | > δ , α ∈ B
ε
0
(α
∗
),
B
ε
(α) = {τ ∈ R
2
: |τ − α | ≤ ε}
                                      ∼
    Îáðàòíî, ïóñòü ôóíêöèÿ w èç M óäîâëåòâîðÿåò âàðèàöèîííîìó óñëî-
âèþ (3.21). Îïðåäåëèì ôóíêöèþ β ñîîòíîøåíèåì
                                   |D(w(α))|
                    β(α) =                          , α ∈ Ω̄.      (3.22)
                             | [∂1 w(α), ∂2 w(α)] |
    Äîêàæåì, ÷òî ïðè ýòîì äëÿ ôóíêöèé w è β âûïîëíåíû óðàâíåíèå
(3.15) è óñëîâèÿ (3.13), (3.14).
    Ïðîâåðèì ñíà÷àëà, ÷òî

              D(w(α)) = −| D(w(α)) | N (w(α)) , α ∈ I(w).          (3.23)

    Äîïóñòèì, ÷òî íàøëàñü òî÷êà α∗ ∈ I(w), â êîòîðîé íå âûïîëíåíî
óñëîâèå (3.23). Îïðåäåëèì âåêòîð g = (g1 , g2 , g3 ) ðàâåíñòâîì:
                 D(w∗ )/| D(w∗ ) | + N (w∗ )
            g=      ∗        ∗           ∗
                                             , ãäå w∗ = w(α∗ ).
               | D(w )/| D(w ) | + N (w ) |
Ïðîâåðèì, ÷òî ýòîò åäèíè÷íûé âåêòîð óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì

                 (g, D(w∗ )/|D(w∗ )|) > 0 , (g, N (w∗ )) > 0.      (3.24)

    Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþáûõ äâóõ åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ a, b, òàêèõ, ÷òî
  6 −b, âåðíî íåðàâåíñòâî (a, b) > −1, è, åñëè c = (a + b)/|a + b|, òî
a =
(a, c) > 0, (b, c) > 0, ïîñêîëüêó
                          (a, a + b)   1 + (a, b)
               (a, c) =              =            = (b, c) > 0.
                           |a + b|      |a + b|
    Ëåâûå ÷àñòè íåðàâåíñòâ (3.24) ïî ïðåäïîëîæåíèþ, ñäåëàííîìó âûøå,
íåïðåðûâíû, à çíà÷èò, íàéäóòñÿ òàêèå δ, ε0 > 0, ÷òî

                       (g, D(w(α))) > δ, α ∈ Bε0 (α∗ ),            (3.25)

                (g, N (w(α))) | ν(w(α)) | > δ , α ∈ Bε0 (α∗ ),     (3.26)

ãäå Bε (α) = {τ ∈ R2 : | τ − α | ≤ ε}.


                                       25

Страницы