Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

η
ω
ε
Z
Ω
(D(w(α)), η(α)) dα =
Z
B
ε
(α
∗
)
T
Ω
ε ω
ε
(α − α
∗
) (D(w(α)), g) dα ≥
≥ δ ε
Z
B
ε/3
(α
∗
)
T
Ω
ω
ε
(α − α
∗
) dα = δ ε mes(B
ε/3
(α
∗
)
\
Ω) > 0,
D(w(α)) = 0, α ∈ I
−
(w).
α
∗
∈ I
−
(w)
g = D(w
∗
)/|D(w
∗
)|
δ, ε
0
> 0 α
∗
∈ I
−
(w)
w
3
(α
∗
) > F (w(α
∗
)) w F
α
∗
w
3
(α) − F (w(α)) ≥ δ
1
> 0.
η = ε ω
ε
g
∼
M
(w)
w β
w
   Äëÿ ïîñòðîåííîé ôóíêöèè η , ïîëüçóÿñü (3.25) è ñâîéñòâàìè ôóíêöèè
ωε , èìååì
      Z                                      Z
        (D(w(α)), η(α)) dα =                                ε ωε (α − α∗ ) (D(w(α)), g) dα ≥
                                                   T
    Ω                                   Bε (α∗ )       Ω
               Z                                                          \
    ≥ δε                      ωε (α − α∗ ) dα = δ ε mes(Bε/3 (α∗ )            Ω) > 0,     (3.28)
                      T
         Bε/3 (α∗ )       Ω

÷òî ïðîòèâîðå÷èò (3.21). Ñïðàâåäëèâîñòü (3.23) òåì ñàìûì óñòàíîâëåíà.
   Äàëåå, äîêàæåì ðàâåíñòâî:

                               D(w(α)) = 0, äëÿ α ∈ I − (w).                              (3.29)

   Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò òî÷êà α∗ ∈ I − (w), â êîòîðîé íå âû-
ïîëíåíî óñëîâèå (3.29). Ïîëîæèì g = D(w∗ )/|D(w∗ )|, òîãäà íàéäóò-
ñÿ òàêèå δ, ε0 > 0, ÷òî âûïîëíåíî (3.25). Ïîñêîëüêó α∗ ∈ I − (w), òî
w3 (α∗ ) > F (w(α∗ )), è â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèé w, F , íàéäåòñÿ
îêðåñòíîñòü òî÷êè α∗ , â êîòîðîé

                                 w3 (α) − F (w(α)) ≥ δ1 > 0.

Ïîëüçóÿñü ýòèì íåðàâåíñòâîì è íåðàâåíñòâîì (3.27), ïîëó÷àåì, ÷òî
                                                   ∼
ôóíêöèÿ η = ε ωε g ïðèíàäëåæèò M (w), è äëÿ íåå âûïîëíåíî íåðàâåí-
ñòâî (3.28). Ïîëó÷åíî ïðîòèâîðå÷èå ñ (3.21), è òåì ñàìûì óñòàíîâëåíà
ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà (3.29).
   Èç ðàâåíñòâ (3.22), (3.23) è (3.29) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèè w è β óäî-
âëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (3.15) è óñëîâèÿì (3.13), (3.14). Òàêèì îáðàçîì,
äèôôåðåíöèàëüíàÿ è âàðèàöèîííàÿ ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è (3.15), (3.21)
ýêâèâàëåíòíû.
    ðàññìîòðåííûõ çàäà÷àõ íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ w îïèñûâàåò ðàâíî-
âåñíîå ïîëîæåíèå îáîëî÷êè. Ñôîðìóëèðóåì òåïåðü çàäà÷ó îòíîñèòåëüíî


                                                       27

Страницы