Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

u ξ
w = ξ + u
M =
©
v :
¯
Ω → R
3
, v
Γ
= 0 , ξ
3
+ v
3
≥ F (ξ + v), α ∈
¯
Ω,
ª
M(u) = {v ∈ M : u + s(v − u) ∈ M , ∀s ∈ [0, 1]}.
u M
Z
Ω
(D(ξ(α) + u(α)), v(α) − u(α)) dα ≤ 0 ∀v ∈ M(u).
u
w = ξ + u η
∼
M
(w)
v = u + t
η
η M(u) w
w
u = w −ξ
M M(u) = M
u M
M
ϕ
ïåðåìåùåíèé u îáîëî÷êè èç èçâåñòíîãî ïåðâîíà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ ξ
(òî åñòü w = ξ + u). Ââåäåì ìíîæåñòâà
         ©                                                    ª
      M = v : Ω̄ → R3 , vΓ = 0 , ξ3 + v3 ≥ F (ξ + v), α ∈ Ω̄,       (3.30)

               M (u) = {v ∈ M : u + s(v − u) ∈ M , ∀s ∈ [0, 1]} .   (3.31)

    Òîãäà âàðèàöèîííàÿ çàäà÷à îòíîñèòåëüíî ïåðåìåùåíèé îáîëî÷êè ñâî-
äèòñÿ ê ñëåäóþùåé: íàéòè ôóíêöèþ u èç ìíîæåñòâà M , óäîâëåòâîðÿþ-
ùóþ óñëîâèþ:
          Z
              (D(ξ(α) + u(α)), v(α) − u(α)) dα ≤ 0 ∀ v ∈ M (u).     (3.32)
          Ω

    Äîêàæåì, ÷òî çàäà÷è (3.21) è (3.32) ýêâèâàëåíòíû. Äåéñòâèòåëüíî,
ïóñòü u  ðåøåíèå çàäà÷è (3.32). Òîãäà ðàâíîâåñíîå ïîëîæåíèå îáîëî÷êè
                                                           ∼
çàäàåòñÿ ôóíêöèåé w = ξ + u. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî η èç M (w) èìååì, ÷òî
v = u + tη η ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó M (u), è èç (3.32) ïîëó÷àåì, ÷òî w
ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (3.21). Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ ÷òî, åñëè w
 ðåøåíèå âàðèàöèîííîé çàäà÷è (3.21), òî u = w − ξ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì
(3.32).
    Çàìåòèì, ÷òî åñëè ìíîæåñòâî M âûïóêëî, òî M (u) = M äëÿ ëþáîãî
u èç M , è êâàçèâàðèàöèîííîå íåðàâåíñòâî (3.32) ñòàíîâèòñÿ âàðèàöèîí-
íûì. Îòìåòèì, ÷òî, â ÷àñòíîñòè, ìíîæåñòâî M ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì, åñëè
ôóíêöèÿ ϕ, îïèñûâàþùàÿ ïîâåðõíîñòü ïðåïÿòñòâèÿ, âûïóêëà âî ââåäåí-
íîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.


 Ÿ 4. Ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ îáîáùåííîé çàäà÷è äëÿ ìÿãêîé
                ñåò÷àòîé îáîëî÷êè ïðè íàëè÷èè ïðåïÿòñòâèÿ.

     íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå ðàññìàòðèâàåòñÿ îáîáùåííàÿ çàäà÷à â ïåðå-
ìåùåíèÿõ îá îïðåäåëåíèè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ìÿãêîé ñåò÷àòîé îáî-
ëî÷êè, çàêðåïëåííîé ïî êðàÿì, íàõîäÿùåéñÿ ïîä âîçäåéñòâèåì ìàññîâûõ

                                       28

Страницы