Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

P = 0
D(w)
D(w) =
2
X
k=1
∂
k
µ
t
k
(|∂
k
w|/g
k
)
|∂
k
w|
ρ
k
g
k
∗
∂
k
w
+ |[∂
1
ξ, ∂
2
ξ] |
◦
γ
Q.
u(α) = w(α) − ξ(α) α ∈
¯
Ω w ξ
◦
W
(1)
p
1
,p
2
(Ω)
C
∞
0
(Ω)
kηk
p
1
,p
2
≡ k∂
1
ηk
L
p
1
+ k∂
2
ηk
L
p
2
.
V =
·
◦
W
(1)
p
1
,p
2
(Ω)
¸
3
p
k
> 1, k = 1, 2
kvk
V
≡ k∂
1
vk
L
p
1
+ k∂
2
vk
L
p
2
, k∂
k
vk
p
k
L
p
k
=
Z
Ω
|∂
k
v|
p
k
dα,
h·, ·i V
∗
V V
∗
V V
k = 1, 2
Λ
k
(v) =
∂
k
(ξ + v)
g
k
, v ∈ V,
T
k
(x) =
t
k
(|x|)
|x|
x , x ∈ R
3
,
D(ξ + u) =
2
X
k=1
∂
k
(ρ
k
g
k
∗
T
k
(Λ
k
(u))) + |[∂
1
ξ, ∂
2
ξ] |
◦
γ
Q.
Ïîâåðõíîñòíàÿ íàãðóçêà ïðåäïîëàãàåòñÿ ðàâíîé íóëþ: P = 0.
   Òàêèì îáðàçîì, â ðàññìàòðèâàåìîì íàìè ñëó÷àå, â ñîîòâåòñòâèè ñ
îïðåäåëåíèåì (4.4), äëÿ D(w) ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:
              2
              X           µ                              ¶
                              tk (|∂k w|/gk )                                ◦
     D(w) =          ∂k                       ρk gk∗ ∂k w + | [∂1 ξ, ∂2 ξ] | γ Q.       (4.8)
                                   |∂k w|
               k=1

   Çàäà÷ó ñôîðìóëèðóåì â ïåðåìåùåíèÿõ: èñêîìîé áóäåò âåêòîð-
ôóíêöèÿ u(α) = w(α) − ξ(α), α ∈ Ω̄, ãäå ôóíêöèè w, ξ îïèñûâàþò ñîîò-
âåòñòâåííî äåôîðìèðîâàííóþ è íåäåôîðìèðîâàííóþ ïîâåðõíîñòè îáî-
ëî÷êè.
                                         ◦
   Îïðåäåëèì ïðîñòðàíñòâî               W p(1)
                                            1 ,p2
                                                    (Ω) êàê ïîïîëíåíèå ïðîñòðàíñòâà
C0∞ (Ω) ïî íîðìå
                   kηkp1 ,p2 ≡ k∂1 ηkLp1 + k∂2 ηkLp2 .                (4.9)
                              · ◦           ¸3
   Ââåäåì ïðîñòðàíñòâî V = W p(1)  1 ,p2
                                         (Ω) (ãäå pk > 1, k = 1, 2  ïàðà-
ìåòðû èç óñëîâèÿ (4.4)) ñ íîðìîé
                                                                    Z
                                                        p
     kvkV ≡ k∂1 vkLp1 + k∂2 vkLp2 ,           ãäå k∂k vkLkp     =       |∂k v|pk dα,   (4.10)
                                                            k
                                                                    Ω

îáîçíà÷èì ÷åðåç h·, ·i îòíîøåíèå äâîéñòâåííîñòè ìåæäó V ∗ è V , ãäå V ∗ 
ïðîñòðàíñòâî ñîïðÿæåííîå ê V . Î÷åâèäíî, ÷òî ïðîñòðàíñòâî V ÿâëÿåòñÿ
ðåôëåêñèâíûì áàíàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì.
   Ââåäåì äàëåå ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ (k = 1, 2):
                                          ∂k (ξ + v)
                               Λk (v) =              , v ∈ V,                          (4.11)
                                              gk
                             tk (|x|)
                                      x , x ∈ R 3,
                               Tk (x) =                                                (4.12)
                                |x|
è ïåðåïèøåì (4.8) â ñëåäóþùåì âèäå
                      2
                      X                                                     ◦
         D(ξ + u) =           ∂k (ρk gk∗ Tk (Λk (u))) + | [∂1 ξ, ∂2 ξ] | γ Q.          (4.13)
                      k=1

                                               31

Страницы