Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

η V
Z
Ω
2
X
k=1
∂
k
(ρ
k
g
k
∗
T
k
(Λ
k
(u))) dα = −
2
X
k=1
Z
Ω
ρ
k
g
k
∗
(T
k
(Λ
k
(u)) , ∂
k
η) dα,
u
2
X
k=1
Z
Ω
ρ
k
g
k
∗
(T
k
(Λ
k
(u)) , ∂
k
(v − u)) dα ≥
≥
Z
Ω
(|[∂
1
ξ, ∂
2
ξ] |
◦
γ
Q, v − u) dα.
u ∈ M
M = {v ∈ V : ξ
3
(α) + v
3
(α) ≥ F (ξ(α) + v(α)) Ω},
v ∈ M(u)
M(u) = {v ∈ M : u + s(v − u) ∈ M , ∀s ∈ [0, 1]},
A
k
: V → V
∗
f ∈ V
∗
hA
k
u, vi =
Z
Ω
ρ
k
g
k
∗
(T
k
(Λ
k
(u)) , ∂
k
v) dα , k = 1, 2,
hf, vi =
Z
Ω
(|[∂
1
ξ, ∂
2
ξ]|
◦
γ
Q, v)dα.
0 < c
1
6 g
k
(α) 6 c
2
, ∀α ∈
¯
Ω .
|ρ
k
g
k
∗
T
k
(Λ
k
(u))| 6 c|∂
k
(ξ + u)|
p
k
−1
, α ∈
¯
Ω .
Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè η èç V èìååì
   Z X
     2                                           2 Z
                                                 X
             ∂k (ρk gk∗ Tk (Λk (u))) dα = −              ρk gk∗ (Tk (Λk (u)) , ∂k η) dα,
   Ω   k=1                                       k=1 Ω
                                                                                     (4.14)
è åñëè u ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (3.32) òî, äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ñëó-
÷àÿ ñåò÷àòîé îáîëî÷êè, âûïîëíåíî èíòåãðàëüíîå íåðàâåíñòâî:
                    2 Z
                    X
                             ρk gk∗ (Tk (Λk (u)) , ∂k (v − u)) dα ≥
                    k=1 Ω
                              Z
                                                    ◦
                         ≥        (| [∂1 ξ, ∂2 ξ] | γ Q, v − u) dα.                  (4.15)
                              Ω
   Ïîä ðåøåíèåì îáîáùåííîé çàäà÷è (3.32) áóäåì ïîíèìàòü òàêóþ
ôóíêöèþ u ∈ M ,

   M = {v ∈ V : ξ3 (α) + v3 (α) ≥ F (ξ(α) + v(α)) ï. âñ. íà Ω} ,                     (4.16)

÷òî äëÿ ëþáîãî v ∈ M (u),

              M (u) = {v ∈ M : u + s(v − u) ∈ M , ∀ s ∈ [0, 1]} ,                    (4.17)

ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî (4.15).
   Îïðåäåëèì îïåðàòîðû Ak : V → V ∗ è ôóíêöèîíàë f ∈ V ∗ ôîðìàìè:
                             Z
               hAk u, vi =        ρk gk∗ (Tk (Λk (u)) , ∂k v) dα , k = 1, 2,         (4.18)
                             Ω
                                     Z
                                                         ◦
                        hf, vi =          (|[∂1 ξ, ∂2 ξ]| γ Q, v)dα.                 (4.19)
                                      Ω
   Óáåäèìñÿ â êîððåêòíîñòè îïðåäåëåíèé. Èç óñëîâèé (3.2) ñëåäóåò:

                            0 < c1 6 gk (α) 6 c2 , ∀ α ∈ Ω̄ .                        (4.20)

   Èç (4.4), ó÷èòûâàÿ (4.5), (4.20), ïîëó÷àåì îöåíêó:

                  |ρk gk∗ Tk (Λk (u))| 6 c|∂k (ξ + u)|pk −1 , α ∈ Ω̄ .

                                               32

Страницы