Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

A
k
|hA
k
u, vi| 6 c
Z
Ω
|∂
k
(u + ξ)|
p
k
−1
|∂
k
v|dα 6
6 ck∂
k
(u + ξ)k
p
k
−1
L
p
k
k∂
k
vk
L
p
k
6 c(kuk
V
+ k∂
k
ξk
L
p
k
)
p
k
−1
kvk
V
.
A = A
1
+ A
2
u
M
hA(u), v − ui ≥ hf, v − ui ∀v ∈ M(u).
A
Φ Φ(t) = hA(u + tv), wi [0, 1]
u, v, w ∈ V
hAu, u − v
0
i >
2
X
k=1
(c
1
k∂
k
uk
p
k
L
p
k
− c
2
k∂
k
uk
p
k
−1
L
p
k
− c
3
) ∀u ∈ V,
v
0
V
A
A
t
k
A
k
x, y R
3
k = 1, 2 (x, y) 6 |x| |y|
(T
k
(x) − T
k
(y) , x − y) =
= t
k
(|x|)|x| − t
k
(|x|)
(x, y)
|x|
− t
k
(|y|)
(x, y)
|y|
+ t
k
(|y|)|y| >
> t
k
(|x|)|x| − t
k
(|x|)|y| − t
k
(|y|)|x| + t
k
(|y|)|y| =
Èç íåå ïîëó÷àåì êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà Ak :
                                    Z
                  |hAk u, vi| 6 c       |∂k (u + ξ)|pk −1 |∂k v|dα 6
                                    Ω

     6 ck∂k (u + ξ)kpLkp−1 k∂k vkLp 6 c(kukV + k∂k ξkLp )pk −1 kvkV .         (4.21)
                       k            k                        k


    Ïóñòü A = A1 + A2 . Ñ ó÷åòîì ââåäåííûõ îáîçíà÷åíèé îáîáùåííàÿ
çàäà÷à (4.15) ýêâèâàëåíòíà êâàçèâàðèàöèîííîìó íåðàâåíñòâó: íàéòè u
èç ìíîæåñòâà M , óäîâëåòâîðÿþùóþ íåðàâåíñòâó

                  hA(u), v − ui ≥ hf, v − ui         ∀ v ∈ M (u).             (4.22)

    Ëåììà 4.1. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ (4.1)(4.6), (4.20). Òîãäà
îïåðàòîð A îãðàíè÷åí, õåìèíåïðåðûâåí (òî åñòü ôóíêöèÿ âåùåñòâåí-
íîãî àðãóìåíòà Φ, Φ(t) = hA(u + tv), wi íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [0, 1]
äëÿ ëþáûõ u, v, w ∈ V ), ìîíîòîíåí, è âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî:
                    2
                    X
    hAu, u − v0 i >   (c1 k∂k ukpLkp − c2 k∂k ukLpkp−1 − c3 ) ∀ u ∈ V,        (4.23)
                                        k              k
                     k=1

ãäå v0  ïðîèçâîëüíûé ôèêñèðîâàííûé ýëåìåíò èç V .

    Äîêàçàòåëüñòâî. Îãðàíè÷åííîñòü îïåðàòîðà A ñëåäóåò èç îöåíêè
(4.21).
    Õåìèíåïðåðûâíîñòü îïåðàòîðà A ñëåäóåò èç íåïðåðûâíîñòè ôóíê-
öèè tk (óñëîâèå (4.1)) è ñâîéñòâ îïåðàòîðà Íåìûöêîãî (ñì. [2]).
    Äîêàæåì ìîíîòîííîñòü îïåðàòîðà Ak . Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âåêòîðîâ
x, y èç R3 è k = 1, 2, ïîëüçóÿñü íåðàâåíñòâîì (x, y) 6 |x| |y|, ïîëó÷àåì
îöåíêó:
                           (Tk (x) − Tk (y) , x − y) =
                                   (x, y)            (x, y)
          = tk (|x|)|x| − tk (|x|)        − tk (|y|)        + tk (|y|)|y| >
                                    |x|               |y|

              > tk (|x|)|x| − tk (|x|)|y| − tk (|y|)|x| + tk (|y|)|y| =

                                            33

Страницы