Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

M
©
v
(i)
ª
+∞
i=0
M
v V W
1
p
(Ω) p > 1 L
1
(Ω)
©
v
(i)
ª
+∞
i=0
v [L
1
(Ω)]
3
v v M
k = 1, 2 Φ
k
: V → R
1
Φ
k
(v) =
Z
Ω
I
k
(|∂
k
(ξ + v)|/g
k
) ρ
k
g
k
∗
g
k
dα , I
k
(λ) =
λ
Z
0
t
k
(s)ds.
I
k
(λ) =
λ
Z
0
t
k
(s)ds 6 c
2
λ
Z
0
s
p
k
−1
ds = cλ
p
k
.
lim
s→0
Φ
k
(v + s(u − v))
s
= hA
k
v, ui, ∇Φ
k
(v) = A
k
v.
Φ : V → R
1
Φ(v) = Φ
1
(v) + Φ
2
(v) − hf, vi, v ∈ V
∇Φ(v) = Av − f A
Φ M
V
èç êîòîðûõ ñëåäóåò íåðàâåíñòâî (4.23). Ëåììà äîêàçàíà.
   Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ

   Òåîðåìà 4.1. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ (4.1)  (4.7), (4.20). Òîãäà
êâàçèâàðèàöèîííîå íåðàâåíñòâî (4.22) èìååò ðåøåíèå.

   Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ñëàáóþ çàìêíóòîñòü ìíîæåñòâà M .
                                   ©   ª+∞
Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü v (i)           i=0
                                               , ïðèíàäëåæàùàÿ ìíîæåñòâó M , ñëà-
áî ñõîäèòñÿ ê v â V . Èç êîìïàêòíîñòè âëîæåíèÿ Wp1 (Ω) ïðè p > 1 â L1 (Ω)
                                         ©          ª+∞                                         3
ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü v (i)               i=0
                                                          ñõîäèòñÿ ñèëüíî ê v â [L1 (Ω)] ,
à çíà÷èò, ó íåå íàéäåòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñõîäÿùàÿñÿ ïî÷òè âñþ-
äó ê v . Ïîýòîìó v ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó M .
   Ââåäåì äëÿ k = 1, 2 ôóíêöèîíàëû Φk : V → R1 :
               Z                                                               Zλ
    Φk (v) =       Ik (|∂k (ξ + v)|/gk ) ρk gk∗ gk dα , ãäå Ik (λ) =                tk (s)ds.
               Ω                                                               0

Êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèîíàëîâ ñëåäóåò èç óñëîâèé (4.4), (4.5),
(4.20) è íåðàâåíñòâà

                              Zλ                     Zλ
                   Ik (λ) =        tk (s)ds 6 c2          spk −1 ds = cλpk .
                              0                      0

Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî âûïîëíåíî ðàâåíñòâî:
              Φk (v + s(u − v))
        lim                     = hAk v, ui , òî åñòü ∇Φk (v) = Ak v.
        s→0           s
Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèîíàë Φ : V → R1 , îïðåäåëåííûé ñîîòíîøåíè-
åì Φ(v) = Φ1 (v) + Φ2 (v) − hf, vi, v ∈ V , ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìûì:
∇Φ(v) = Av − f , à â ñèëó ñâîéñòâ îïåðàòîðà A (ëåììà 4.1), ÿâëÿåòñÿ
òàêæå âûïóêëûì, ñëàáî ïîëóíåïðåðûâíûì ñíèçó è êîýðöèòèâíûì.
   Èç óñòàíîâëåííûõ âûøå ñâîéñòâ ôóíêöèîíàëà Φ, ìíîæåñòâà M è
ðåôëåêñèâíîñòè ïðîñòðàíñòâà V ñëåäóåò, ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà [?],

                                               35

Страницы