Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

M(v)
P : R
3
→ ∆
ϕ
∆
ϕ
:
P (x) = min
z ∈ ∆
ϕ
kx − zk,
|P (x) − P (z)| ≤ |x − z| ∀x, z ∈ R
3
.
v ∈ M M
P
v
= (P
v
1
, P
v
2
, P
v
3
) : Ω → ∆
ϕ
P
v
(α) = P (ξ(α) + v(α)), α ∈ Ω ,
ξ
v ∈ M
M(v) = {η ∈ V : (ξ(α) + η(α) − P
v
(α), N(P
v
(α))) ≥ 0, α ∈ Ω},
N : R
3
→ R
3
∼
M
(u)
v
3
(
α
)
≥
ϕ
(
v
1
(
α
)
, v
2
(
α
)) α Ω
, P
v
(
α
)
∆
ϕ
è ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì è çàìêíóòûì.
    Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ñëó÷àÿ äèôôåðåíöèàëüíîé çàäà÷å (3.5), (3.14)
ñîïîñòàâèì âàðèàöèîííóþ çàäà÷ó ñ âûïóêëûì ìíîæåñòâîì äîïóñòèìûõ
íàïðàâëåíèé M (v).
    Îáîçíà÷èì, ÷åðåç P : R 3 → ∆ϕ îïåðàòîð ïðîåêòèðîâàíèÿ íà ìíî-
æåñòâî ∆ϕ :
                          P (x) = arg min kx − zk,
                                   z ∈ ∆ϕ
ÿâëÿþùèéñÿ, î÷åâèäíî, ëèïøèö-íåïðåðûâíûì:

                    |P (x) − P (z)| ≤ |x − z| ∀ x, z ∈ R 3 .         (5.2)

    Äàëåå, äëÿ v ∈ M (ìíîæåñòâî M îïðåäåëåíî â (4.16)) ââåäåì ôóíê-
öèþ P v = (P1v , P2v , P3v ) : Ω → ∆ϕ


                     P v (α) = P (ξ(α) + v(α)),   α ∈ Ω,             (5.3)

ãäå ξ  ôóíêöèÿ èç (3.1). Îïðåäåëèì ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ íàïðàâëåíèé
äëÿ v ∈ M ñëåäóþùèì îáðàçîì:

 M (v) = {η ∈ V : (ξ(α) + η(α) − P v (α), N (P v (α))) ≥ 0, α ∈ Ω} , (5.4)

îïåðàòîð N : R3 → R3 îïðåäåëåí â (3.10).
    Òàêèì îáðàçîì, ââåäåííîå ìíîæåñòâî íåñêîëüêî óæå, ÷åì ìíîæåñòâî
                               ∼
äîïóñòèìûõ íàïðàâëåíèé M (u) îïðåäåëåííîå â (3.16). Òåì íå ìåíåå,
ñëåäóÿ èçëîæåíèþ Ÿ 3 íàñòîÿùåé ãëàâû, íåòðóäíî óñòàíîâèòü ýêâèâà-
ëåíòíîñòü âàðèàöèîííîé çàäà÷è (3.21) ñ ìíîæåñòâîì (5.4) è äèôôåðåí-
öèàëüíîé çàäà÷è (3.15).
    Ïîñêîëüêó v3 (α) ≥ ϕ(v1 (α), v2 (α)) äëÿ âñåõ α èç Ω, òî P v (α) ëåæèò
íà ãðàíèöå ìíîæåñòâà ∆ϕ , è, ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî (5.4) îïðåäåëåíî
êîððåêòíî.

                                        37

Страницы