Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

M(v)
M Ω
α
∗
e ∈ R
2
∃ t
e
> 0 :
α
∗
+ te ∈ Ω 0 ≤ t ≤ t
e
,
α
∗
+ te ∈ Γ t = t
e
,
α
∗
+ te /∈ Ω t > t
e
.
α
∗
Ω ε
∗
, t
e
> ε
∗
e ∈ R
2
.
ε > 0 θ
ε
: Ω → R
1
θ
ε
(α) = θ
ε
(α
∗
+ te) =
(
ε 0 ≤ t ≤ t
e
− ε,
−t + t
e
t
e
− ε ≤ t ≤ t
e
.
θ
ε
∈
◦
W
(1)
p
1
,p
2
(Ω)
lim
ε→0
kθ
ε
(x)k
◦
W
(1)
p
1
,p
2
(Ω)
= 0.
ξ
3
(α) > ϕ(ξ
1
(α), ξ
2
(α)), α ∈ Γ
ξ
∆
Γ
= {x : x = ξ(α), α ∈ Γ}
∆
Γ
T
∆
ϕ
= ∅ d > 0
d = inf
x ∈ ∆
Γ
,
z ∈ ∆
ϕ
kx − zk.
    Î÷åâèäíî, ÷òî M (v) ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì è çàìêíóòûì ïîäìíîæå-
ñòâîì èç M . Â ýòîì ïàðàãðàôå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî Ω ÿâëÿåòñÿ
çâåçäíîé îáëàñòüþ, òî åñòü ñóùåñòâóåò âíóòðåííÿÿ òî÷êà α∗ òàêàÿ, ÷òî
äëÿ ëþáîãî åäèíè÷íîãî âåêòîðà e ∈ R 2 âûïîëíåíî óñëîâèå:
                           
                             ∗
                            α + te ∈ Ω ïðè 0 ≤ t ≤ te ,
                           
                ∃ te > 0 :   α∗ + te ∈ Γ ïðè t = te ,                             (5.5)
                           
                           
                            α∗ + te ∈
                                     / Ω ïðè t > te .
Ïîñêîëüêó α∗  âíóòðåííÿÿ òî÷êà Ω, òî ñóùåñòâóåò òàêîå ε∗ , ÷òî te > ε∗
äëÿ âñåõ e ∈ R 2 .
    Ââåäåì äëÿ ε > 0 ôóíêöèþ θε : Ω → R1
                                       (
                                           ε                ïðè 0 ≤ t ≤ te − ε,
          θε (α) = θε (α∗ + te) =                                                 (5.6)
                                           −t + te ïðè te − ε ≤ t ≤ te .
                     ◦
Î÷åâèäíî, ÷òî   θε ∈W (1)p1 ,p2   (Ω), è

                            lim kθε (x)k         ◦               = 0.
                            ε→0                W (1)p1 ,p2 (Ω)

    Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êðàé îáîëî÷êè ëåæèò ñòðîãî íàä ïîâåðõíîñòüþ
ïðåïÿòñòâèÿ, òî åñòü

                         ξ3 (α) > ϕ(ξ1 (α), ξ2 (α)), α ∈ Γ                        (5.7)

    Ïîñêîëüêó, ïî ïðåäïîëîæåíèþ (3.2), ξ  íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, òî
ìíîæåñòâî (êðàé îáîëî÷êè)

                          ∆Γ = {x : x = ξ(α), α ∈ Γ}                              (5.8)

çàìêíóòî.
                      T
    Â ñèëó (5.4) ∆Γ       ∆ϕ = ∅, è ñóùåñòâóåò d > 0:

                                  d=     inf kx − zk.                             (5.9)
                                       x ∈ ∆Γ ,
                                       z ∈ ∆ϕ

                                               38

Страницы