Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Φ
M u
Φ(u) = min
v∈M
Φ(v).
u
v M(u)
M(u) u+s(v−u) ∈ M s ∈ [0, 1]
u Φ M
Φ(u + s(v − u)) > Φ(u), s ∈ [0, 1].
Φ
Φ(u + s(v − u)) − Φ(u) = s h∇Φ(u + θ
s
s(v − u)), v − ui , 0 6 θ
s
6 1,
hA(u + θ
s
s(v − u)) − f, v −ui > 0.
s A
ϕ
(x
1
, x
2
) ∈ R
2
λ [0, 1]
ϕ(λ(x
1
, x
2
) + (1 − λ)(x
1
, x
2
)) ≥ λ ϕ(x
1
, x
2
) + (1 − λ)ϕ(x
1
, x
2
),
∆
ϕ
=
©
x ∈ R
3
: x
3
≤ ϕ(x
1
, x
2
)
ª
ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà Φ íà ìíîæå-
ñòâå M . Ïóñòü u  ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è:

                               Φ(u) = min Φ(v).
                                         v∈M

   Óñòàíîâèì, ÷òî u ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì êâàçèâàðèàöèîííîãî íåðàâåí-
ñòâà (4.22). Ïóñòü v  ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà M (u). Èç îïðå-
äåëåíèÿ ìíîæåñòâà M (u) ñëåäóåò, ÷òî u+s(v −u) ∈ M äëÿ âñåõ s ∈ [0, 1].
Ýëåìåíò u ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ìèíèìóìà Φ íà ìíîæåñòâå M , çíà÷èò

                     Φ(u + s(v − u)) > Φ(u), s ∈ [0, 1].                         (4.28)

 ñèëó äèôôåðåíöèðóåìîñòè Φ èìååì ðàâåíñòâî:

Φ(u + s(v − u)) − Φ(u) = s h∇Φ(u + θs s(v − u)), v − ui , ãäå 0 6 θs 6 1,

ñëåäîâàòåëüíî, èç (4.28) ïîëó÷àåì:

                     hA(u + θs s(v − u)) − f, v − ui > 0.

Óñòðåìëÿÿ s ê íóëþ è ó÷èòûâàÿ õåìèíåïðåðûâíîñòü îïåðàòîðà A, ïîëó-
÷àåì íåðàâåíñòâî (4.22). Òåîðåìà äîêàçàíà.


 Ÿ 5. Ñâîéñòâà ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ ïåðåìåùåíèé â ñëó÷àå
                  íåâûïóêëîãî ìíîæåñòâà îãðàíè÷åíèé.

   Â ýòîì ïàðàãðàôå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèÿ ϕ, îïèñûâàþùàÿ
ïîâåðõíîñòü ïðåïÿòñòâèÿ, ÿâëÿåòñÿ âîãíóòîé íà âñåé îáëàñòè å¼ îïðåäå-
ëåíèÿ, òî åñòü äëÿ âñåõ (x1 , x2 ) ∈ R 2 è äëÿ ëþáîãî λ èç îòðåçêà [0, 1]
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî:

      ϕ(λ(x1 , x2 ) + (1 − λ)(x1 , x2 )) ≥ λ ϕ(x1 , x2 ) + (1 − λ)ϕ(x1 , x2 ),

è, òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî, êîòîðîå ìîæíî ñ÷èòàòü, áåç îãðàíè÷åíèÿ
îáùíîñòè, ïðåïÿòñòâèåì, èìååò âèä
                           ©                         ª
                       ∆ϕ = x ∈ R3 : x3 ≤ ϕ(x1 , x2 )                             (5.1)

                                        36

Страницы