Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

= (t
k
(|x|) − t
k
(|y|)) (|x| − |y|).
t
k
(t
k
(λ) − t
k
(ν)) (λ − µ) > 0 , ∀λ, µ > 0.
(T
k
(x) − T
k
(y) , x − y) > 0 ∀x, y ∈ R
3
, k = 1, 2.
v, u V k = 1, 2
hA
k
v − A
k
u, v − ui =
=
Z
Ω
ρ
k
g
k
∗
g
k
(T
k
(Λ
k
(v)) − T
k
(Λ
k
(u)) , Λ
k
(v) − Λ
k
(u)) dα > 0.
A
k
A
k =
1, 2
hA
k
u, u − v
0
i =
Z
Ω
ρ
k
g
k
∗
(T
k
(Λ
k
(u)) , ∂
k
u − ∂
k
v
0
) dα =
=
Z
Ω
ρ
k
g
k
∗
g
k
t
k
(|Λ
k
(u)|)
|Λ
k
(u)|
(Λ
k
(u) , Λ
k
(u) − Λ
k
(v
0
)) dα >
>
Z
Ω
ρ
k
g
k
∗
g
k
t
k
(|Λ
k
(u)|) (|Λ
k
(u)| − |Λ
k
(v
0
)|) dα >
>
Z
Ω
ρ
k
g
k
∗
g
k
¡
c
0
|Λ
k
(u)|
p
k
− c
1
− c
2
|Λ
k
(u)|
p
k
−1
|Λ
k
(v
0
)|
¢
dα >
> c
∗
0
k∂
k
(u + ξ)k
p
k
L
p
k
− c
∗
2
k∂
k
(u + ξ)k
p
k
−1
L
p
k
k∂
k
(v
0
+ ξ)k
L
p
k
− c
∗
1
>
> C
1
k∂
k
uk
p
k
L
p
k
− C
2
k∂
k
uk
p
k
−1
L
p
k
− C
3
,
                                  = (tk (|x|) − tk (|y|)) (|x| − |y|).                      (4.24)

Ïîñêîëüêó ôóíêöèè tk íå óáûâàþò (óñëîâèÿ (4.2) è (4.3)), òî ñëåäóåò:

                              (tk (λ) − tk (ν)) (λ − µ) > 0 , ∀λ, µ > 0.                    (4.25)

Òàêèì îáðàçîì, âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà

                     (Tk (x) − Tk (y) , x − y) > 0 ∀ x, y ∈ R3 , k = 1, 2.                  (4.26)

     Âîñïîëüçîâàâøèñü íåðàâåíñòâàìè (4.6), (4.20) è (4.26), äëÿ ïðîèç-
âîëüíûõ ôóíêöèé v, u èç V è k = 1, 2 ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâà:

                                            hAk v − Ak u, v − ui =
         Z
     =       ρk gk∗ gk (Tk (Λk (v)) − Tk (Λk (u)) , Λk (v) − Λk (u)) dα > 0.                (4.27)
         Ω
Èç (4.27) ñëåäóåò ìîíîòîííîñòü îïåðàòîðîâ Ak è, òåì ñàìûì, îïåðàòîðà
A.
     Äàëåå, ïîëüçóÿñü íåðàâåíñòâàìè (4.20) è (4.4), ïîëó÷àåì îöåíêè (k =
1, 2):                                      Z
                 hAk u, u − v0 i =              ρk gk∗ (Tk (Λk (u)) , ∂k u − ∂k v0 ) dα =
                                            Ω
                     Z
                                      tk (|Λk (u)|)
                 =        ρk gk∗ gk                 (Λk (u) , Λk (u) − Λk (v0 )) dα >
                                         |Λk (u)|
                     Ω
                          Z
                      >       ρk gk∗ gk tk (|Λk (u)|) (|Λk (u)| − |Λk (v0 )|) dα >
                          Ω
                 Z
                               ¡                                                ¢
             >        ρk gk∗ gk c0 |Λk (u)|pk − c1 − c2 |Λk (u)|pk −1 |Λk (v0 )| dα >
                 Ω


         > c∗0 k∂k (u + ξ)kpLkp − c∗2 k∂k (u + ξ)kLpkp−1 k∂k (v0 + ξ)kLp − c∗1 >
                                        k                        k                  k



                                > C1 k∂k ukpLkp − C2 k∂k ukLpkp−1 − C3 ,
                                                    k                k


                                                        34

Страницы