Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

|hBu, vi| 6
Z
Ω
|∂
1
(u + ξ)| |∂
2
(u + ξ)| |v|dα 6
6 k∂
1
(u + ξ)k
L
p
1
k∂
2
(u + ξ)k
L
p
2
kvk
L
r
6
6 (kuk
V
+ c)
2
kvk
V
.
u M
hA(u), v −ui− q
∗
hB(u), v − ui ≥ hf, v − ui ∀v ∈ M.
B
u v V
Z
Ω
([∂
1
(u + ξ), ∂
2
(u + ξ)], v)dα =
= −
1
2
Z
Ω
([∂
1
(u + ξ), (u + ξ)], ∂
2
v)dα −
1
2
Z
Ω
([(u + ξ), ∂
2
(u + ξ)], ∂
1
v)dα.
η(α)
∂
2
[∂
1
η, η] = [∂
2
∂
1
η, η] + [∂
1
η, ∂
2
η] ,
∂
1
[η, ∂
2
η] = [∂
1
η, ∂
2
η] + [η, ∂
1
∂
2
η] .
[∂
1
η, ∂
2
η] =
1
2
(∂
2
[∂
1
η, η] + ∂
1
[η, ∂
2
η]) .
w = u + ξ w
i
= u
i
+ ξ {u
i
}
+∞
i=1
∈ [C
2
(
¯
Ω)]
3
u
i
→ u V i → ∞ v ∈ V
äóþùåé îöåíêè:
                               Z
                 |hBu, vi| 6       |∂1 (u + ξ)| |∂2 (u + ξ)| |v|dα 6
                               Ω

                    6 k∂1 (u + ξ)kLp k∂2 (u + ξ)kLp kvkLr 6
                                       1                  2


                                6 (kukV + c)2 kvkV .                               (6.8)

Ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèÿìè (4.18), (4.19), (6.6), çàäà÷ó (6.4) çàïèøåì â îïå-
ðàòîðíîì âèäå: íàéòè u èç ìíîæåñòâà M , óäîâëåòâîðÿþùóþ íåðàâåíñòâó

            hA(u), v − ui − q ∗ hB(u), v − ui ≥ hf, v − ui            ∀ v ∈ M.     (6.9)

Äëÿ èññëåäîâàíèÿ çàäà÷è (6.9) íàì ïîíàäîáÿòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà îïå-
ðàòîðà B (Ëåììû 6.1  6.3).

   Ëåììà 6.1. Ïóñòü âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî (6.5). Òîãäà äëÿ ïðîèç-
âîëüíûõ u è v èç V èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî:
                   Z
                     ([∂1 (u + ξ), ∂2 (u + ξ)], v)dα =
                        Ω
        Z                                          Z
    1                                         1
 =−         ([∂1 (u + ξ), (u + ξ)], ∂2 v)dα −          ([(u + ξ), ∂2 (u + ξ)], ∂1 v)dα.
    2                                         2
        Ω                                          Ω

   Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé ôóíêöèè η(α) èìååì:

                       ∂2 [∂1 η, η] = [∂2 ∂1 η, η] + [∂1 η, ∂2 η] ,

                       ∂1 [η, ∂2 η] = [∂1 η, ∂2 η] + [η, ∂1 ∂2 η] .

Ñêëàäûâàÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ, ïîëó÷èì:
                                   1
                     [∂1 η, ∂2 η] = (∂2 [∂1 η, η] + ∂1 [η, ∂2 η]) .               (6.10)
                                   2
                                                                         +∞
Ïóñòü w = u + ξ , wi = ui + ξ , ãäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ui }i=1 ∈ [C2 (Ω̄)]3
òàêàÿ, ÷òî ui → u â V ïðè i → ∞. Òîãäà äëÿ ëþáîãî v ∈ V , èñïîëüçóÿ

                                           46

Страницы