Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

6 cku
i
− uk
V
kvk
V
.
i → ∞
B
{u
i
}
+∞
i=1
⊂ V u V v V
lim
i→∞
hBu
i
, vi = hBu, vi.
w
i
= u
i
+ξ w = u+ξ
|hBu
i
, vi − hBu, vi| =
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Z
Ω
([∂
1
w
i
, ∂
2
w
i
], v)dα −
Z
Ω
([∂
1
w, ∂
2
w], v)dα
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
=
1
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Z
Ω
([∂
1
w
i
, w
i
], ∂
2
v)dα −
Z
Ω
([∂
1
w, w], ∂
2
v)dα
+
+
Z
Ω
([w
i
, ∂
2
w
i
], ∂
1
v)dα −
Z
Ω
([w, ∂
2
w], ∂
1
v)dα
¯
¯
¯
¯
¯
¯
6
6
1
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Z
Ω
([∂
1
w
i
, w
i
], ∂
2
v)dα −
Z
Ω
([∂
1
w, w], ∂
2
v)dα
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
+
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Z
Ω
([w
i
, ∂
2
w
i
], ∂
1
v) dα −
Z
Ω
([w, ∂
2
w], ∂
1
v)dα
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
D
i
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Z
Ω
([∂
1
w
i
, w
i
], ∂
2
v)dα −
Z
Ω
([∂
1
w, w], ∂
2
v)dα
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
                           6 ckui − ukV kvkV .                        (6.14)

   Ïåðåõîäÿ òåïåðü â (6.11) ê ïðåäåëó ïðè i → ∞ ñ ó÷åòîì îöåíîê
(6.12)  (6.14), ïîëó÷èì òðåáóåìîå ðàâåíñòâî.

   Ëåììà 6.2. Ïóñòü âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî (6.5). Òîãäà îïåðàòîð
B ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî íåïðåðûâåí, òî åñòü, åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{ui }+∞
     i=1 ⊂ V ñëàáî ñõîäèòñÿ ê u â V , v  ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò èç V ,
òî âûïîëíåíî ðàâåíñòâî:

                          lim hBui , vi = hBu, vi.
                         i→∞


   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëàãàÿ wi = ui +ξ , w = u+ξ è ïîëüçóÿñü ëåììîé
6.1, ïîëó÷àåì:
                           |hBui , vi − hBu, vi| =
              ¯                                               ¯
              ¯Z                          Z                   ¯
              ¯                                               ¯
           = ¯¯ ([∂1 wi , ∂2 wi ], v)dα − ([∂1 w, ∂2 w], v)dα¯¯ =
              ¯                                               ¯
                Ω                         Ω
             ¯                                                  
             ¯ Z                            Z
           1¯
         = ¯¯ ([∂1 wi , wi ], ∂2 v)dα − ([∂1 w, w], ∂2 v)dα +
           2¯
                  Ω                         Ω
                                                            ¯
              Z                           Z                      ¯
                                                                 ¯
          +  ([wi , ∂2 wi ], ∂1 v)dα − ([w, ∂2 w], ∂1 v)dα¯¯ 6
                                                                 ¯
               Ω                          Ω
                ¯                                               ¯
                ¯Z                          Z                   ¯
             1 ¯¯                                               ¯
          6 ¯ ([∂1 wi , wi ], ∂2 v)dα − ([∂1 w, w], ∂2 v)dα¯¯ +
             2¯                                                 ¯
                  Ω                         Ω
               ¯                                               ¯
               ¯Z                          Z                   ¯
               ¯                                               ¯
            + ¯¯ ([wi , ∂2 wi ], ∂1 v)dα − ([w, ∂2 w], ∂1 v)dα¯¯ .    (6.15)
               ¯                                               ¯
                 Ω                        Ω
Ðàññìîòðèì ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (6.15) :
                ¯                                               ¯
                ¯Z                         Z                    ¯
                ¯                                               ¯
          Di = ¯¯ ([∂1 wi , wi ], ∂2 v)dα − ([∂1 w, w], ∂2 v)dα¯¯ =
                ¯                                               ¯
                 Ω                        Ω

                                     48

Страницы