Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

A
lim inf
h
k
→0
hAu
h
k
, u
h
k
− vi > hAu, u − vi ∀v ∈ M.
(I) v ∈ M(u)
{v
h
k
∈ M
h
k
(u
h
k
)}
+∞
k=1
lim
h
k
→0
kv
h
k
− vk
V
= 0 .
{u
h
k
}
+∞
k=1
u
lim sup
h
k
→0
hAu
h
k
, u
h
k
− vi 6
6 lim sup
h
k
→0
hAu
h
k
, u
h
k
− v
h
k
i + lim sup
h
k
→0
hAu
h
k
, v
h
k
− vi 6
6 lim sup
h
k
→0
hf, u
h
k
− v
h
k
i + lim sup
h
k
→0
kAu
h
k
k
V
∗
kv
h
k
− vk
V
=
= hf, u − vi .
hAu
∗
, v − u
∗
i > hf, v − u
∗
i ∀v ∈ M,
u
(I)
(II) {v
(k)
}
+∞
k=1
M
h
v V k → +∞ v M
h
w M
h
(v) {w
(k)
}
+∞
k=1
w
(k)
∈ M
h
(v
(k)
) , k = 1, 2, 3, . . . ,
lim
k→+∞
kw
(k)
− wk
V
= 0;
Èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà è ïñåâäîìîíîòîííîñòè îïåðàòîðà A èìååì:

              lim inf hAuhk , uhk − vi > hAu, u − vi ∀v ∈ M.           (7.6)
               hk →0

    Ñîãëàñíî óñëîâèþ (I) äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè v ∈ M (u) ñóùå-
                                                            +∞
ñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {vhk ∈ Mhk (uhk )}k=1 , äëÿ êîòîðîé

                               lim kvhk − vkV = 0 .
                              hk →0

Èñïîëüçóÿ ýòî ðàâåíñòâî è ñëàáóþ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
{uhk }+∞
      k=1 ê u, ïîëó÷àåì


                            lim sup hAuhk , uhk − vi 6
                              hk →0

         6 lim sup hAuhk , uhk − vhk i + lim sup hAuhk , vhk − vi 6
              hk →0                                 hk →0

         6 lim sup hf, uhk − vhk i + lim sup kAuhk kV ∗ kvhk − vkV =
             hk →0                          hk →0

                                      = hf, u − vi .                   (7.7)

Ñîáèðàÿ âìåñòå íåðàâåíñòâà (7.6) è (7.7), èìååì

                      hAu∗ , v − u∗ i > hf, v − u∗ i ∀v ∈ M,

òî åñòü u  ðåøåíèå çàäà÷è (7.3). Òåîðåìà äîêàçàíà.
    Ïóñòü òåïåðü, â äîïîëíåíèå óñëîâèþ (I), âûïîëíåíû
    óñëîâèå (II): ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {v (k) }+∞
                                                   k=1 èç Mh ñõîäèòñÿ
ê v â V ïðè k → +∞. Òîãäà v ïðèíàäëåæèò Mh , è äëÿ ïðîèçâîëüíîé
ôóíêöèè w èç Mh (v) íàéäåòñÿ òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {w(k) }+∞
                                                             k=1 ,
÷òî
                       w(k) ∈ Mh (v (k) ) ,     k = 1, 2, 3, . . . ,   (7.8)

è
                              lim kw(k) − wkV = 0;                     (7.9)
                             k→+∞




                                           59

Страницы