Составители:
Рубрика:
Поскольку скорость звука не зависит от частоты,
s
d
cCo
dk
nst
ω
==
,
то ω линейно зависит от волнового вектора
2
k
π
=
λ
, который может
принимать любые значения, удовлетворяющие граничным условиям
для бегущих волн, т.е. условиям Борна-Кармана
(5.4.4). Шаг квантова-
ния, вытекающий из условий Борна-Кармана, равен
2
L
π
для линейной
цепочки атомов (
L – длина цепочки). При этом в трехмерном кристалле
объмом
V на одно квантовое состояние приходится объем k-
пространства, равный
()
()
()
33
123
22
V
LLL
ππ
δ= =
k
.
Минимальное значение k равно, очевидно, нулю. Это значит, что
длина волны бесконечна, вся решетка смещается синхронно и меж-
атомные расстояния сохраняются. А максимальное k для изотропного
вещества можно определить, зная
δ
k и полное число возможных коле-
бательний. Оно равно
N для каждой из трех колебательных мод, про-
дольной и двух поперечных (
N – количество атомов в кристалле).
Если в сферическом объеме k-пространства радиусом k
m
"помеща-
ется"
3
1
4
3
m
k
N
π
=
δk
состояний, то в кристалле с N атомами получим
()
1
2
3
6
m
kn=π (n – концентрация атомов) и максимальную частоту ко-
лебаний .
mƒ
ckω=
m
Полная внутренняя энергия – интеграл по всем состояниям в интер-
вале от нуля до k
m
, умноженным их энергию
ω
и на вероятность их
заселения, также зависящую от энергии.
Использовав обозначения:
x
kT
ω
≡
– перемення интегрирования,
m
D
T
k
ω
≡
– температура Дебая,
D
m
T
x
T
≡
– верхний предел интегри-
рования,
U – полная энергия кристалла, получим:
43
3
0
9
1
m
x
x
D
NkT x
Ud
x
T e
=
−
∫
,
4
v
32
0
9
1
m
x
x
x
m
dU Nk x e
x
dT
x
e
==
⎡⎤
−
⎣⎦
∫
Cd
(5.5.3)
74
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- …
- следующая ›
- последняя »
