Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 1. Загузов И.С - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

31
Как видно, p=p(x,t), но )t,z,y(
xx
υ
=
υ
, следовательно, для устранения
противоречивых условий будем считать, что уравнение (1.10) возможно
тогда, когда
)t(f
x
p1
=
∂
∂
ρ
−
, в результате чего приходим к уравнению
)t(f
zy
t
2
x
2
2
x
2
x
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
υ∂
+
∂
υ∂
ν=
∂
υ∂
. (1.11)
Это уравнение по своему виду совпадает с уравнением
теплопроводности. Таким образом, любые прямолинейные движения вязкой
несжимаемой жидкости при отсутствии массовых сил описываются
уравнением (1.11), в котором
)t,z,y(
xx
υ
=
υ
.
Если же начальные и краевые условия не будут зависеть от y, то и
решение
x
υ
уравнения (1.11) не будет зависеть от y, и тогда при 0
x
p
=
∂
∂
(т.е.
при постоянном давлении) получим уравнение
2
x
2
x
x
t
∂
υ∂
ν=
∂
υ∂
; )t,z(
xx
υ
=
υ
, (1.12)
описывающее плоскопараллельное и прямолинейное движение вязкой
жидкости.
Рассмотрим для этого уравнения начально-краевую задачу. Пусть
покоящаяся жидкость заключена в канале конечной высоты h с твердыми
параллельными стенками бесконечной длины и ширины. Предположим, что в
начальный момент времени верхняя стенка (z=h) приходит в движение с
постоянной скоростью υ
x0
, нижняя стенка (z=0) остается неподвижной. В
аэрогидромеханике эта задача называется задачей или опытом Куэтта. Задача
состоит в установлении закона развития поля скоростей в жидкости.
Принимая движение плоскопараллельным и прямолинейным, со скоростью
i
x
r
r
υ=υ , )t,z(
xx
υ=υ , а давление постоянным, получаем, что υ
x
должна
удовлетворять уравнению (1.12) и следующим начальным и граничным
условиям:
;0
0t
x
=υ
=
;0
0z
x
=υ
=
00x
hz
x
υ=υ=υ
=
.
Граничное условие
0
0z
x
=υ
=
соответствует в силу наличия вязкого
трения прилипанию жидкости к нижней стенке, а граничное условие
0
hz
x
υ=υ
=
- прилипанию вязкой жидкости к верхней стенке, движущейся со
скоростью
0
υ .
1.4.2. Задача о движении жидкости в круглом цилиндре конечной длины
Пусть в круглом цилиндре длины h и радиуса r=а, ось которого
совпадает с осью ОХ, находится в состоянии покоя вязкая жидкость. В
момент времени t=0 внезапно на торцах цилиндра создается перепад
давления p
1
-p
2
>0, который в дальнейшем сохраняется постоянным. Требуется
определить возникающее в жидкости поле скоростей.

Страницы