Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 2. Загузов И.С - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

11
Задача свелась к нахождению функции ψ. Запишем для этого дифференци-
альное уравнение линий тока, которое в случае плоского движения имеет
вид:
yx
yx
υ
∂
=
υ
∂
или 0dydx
xy
=
υ
−
υ
. (1.6)
Подставляя в уравнение (1.6) выражение для υ
x
и υ
y
через ψ, получим
0dy
y
dx
x
=
∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
, т.е полный дифференциал dψ(x,y)=0. Тогда
ψ(x,y)=const, следовательно, функция ψ сохраняет постоянное значение
вдоль линий тока. В силу этого функция ψ получила название функции то-
ка. Если взять известные соотношения для проекций вектора скорости че-
рез потенциал скорости ϕ:
x
x
∂
ϕ
∂
=υ ,
y
y
∂
ϕ
∂
=υ
, (1.7)
то, подставляя их в уравнение неразрывности (1.4), придем к уравнению
Лапласа
0
yx
2
2
2
2
=
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
.
Если наложено условие потенциальности плоского течения, то имеет место
уравнение
0
yx
x
y
=
∂
υ∂
−
∂
υ∂
, (1.8)
полученное из уравнения 0k
yx
)y,x(rot
x
y
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
υ∂
−
∂
υ∂
=υ
r
r
, которое является
выражением того, что рассматриваемое поле безвихревое.
Подставляя в уравнение (1.8) выражение для υ
x
и υ
y
через ψ, получим
опять уравнение Лапласа
0
yx
2
2
2
2
=
∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
.
Таким образом, в случае потенциального поля скоростей как
функции тока, так и потенциалы скоростей определяются одинаковыми
уравнениями типа Лапласа.
Если сопоставить соотношения (1.5) и (1.7), то получим
yx ∂
ψ∂
=
∂
ϕ∂
;
yx ∂
ϕ
∂
−=
∂
ψ
∂
. (1.9)
Эти соотношения для идеальной несжимаемой жидкости выражают
условия Коши – Римана. С точки зрения теории функций комплексного
переменного эти условия говорят о следующем: существует характери-
стическая функция W(z)=ϕ(x,y)+iψ(x,y) (для которой действительная часть
ϕ, а мнимая ψ), являющаяся аналитической функцией комплексного аргу-

Страницы