Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 2. Загузов И.С - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

13
Рассмотрим комплексный потенциал W(z)=ϕ(x,y)+ιψ(x,y). Отделяя дейст-
вительную и мнимую части W(z), получим потенциал скоростей ϕ и функ-
цию тока ψ некоторого плоского безвихревого движения:
ϕ(x,y)=Re W(z); ψ(x,y)=Im W(z).
Приравнивая функцию ϕ(x,y) различным постоянным ϕ(x,y)=С, получим
семейство изопотенциальных линий, аналогично совокупность равенств
ψ(x,y)=С’ представляет собой семейство линий тока. Изопотенциальные
линии и линии
тока в любой точке плоскости течения взаимно ортого-
нальны. Для доказательства этого утверждения надо показать, что взаимно
перпендикулярны векторы – градиенты этих функций. Действительно,
,0
xyyx
yyxx
j
y
i
x
j
y
i
x
gradgrad
≡
∂
ϕ∂
∂
ϕ∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
−
∂
ϕ∂
=
∂
ψ∂
∂
ϕ∂
+
∂
ψ∂
∂
ϕ∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
=ψ⋅ϕ
rrrr
что и доказывает взаимную ортогональность изопотенциальных линий и
линий тока (так как скалярное произведение двух векторов равно нулю,
если эти векторы перпендикулярны друг другу).
Зная комплексный потенциал W(z), можно определить вектор скоро-
сти υ
r
или его проекции υ
x
и υ
y
.
Комплексная скорость
yx
i
υ
+
υ=υ , величина этой скорости (или модуль
комплексного числа) равна
2
y
2
x
υ+υ=υ . Сопряженная скорость
yx
iυ−υ=υ , величина этой скорости υ=υ+υ=υ
2
y
2
x
.
Если
θ - угол между вектором и осью 0х, то
θ
υ
=
θ
+
θ
υ
=
υ+υ=υ
i
yx
e)sini(cosi.
Здесь использована формула Эйлера
)sini(cos
i
e
θ
+
θ
=
θ
:
θ−
υ
=
θ
−
θ
υ
=υ−υ=υ
i
yx
e)sini(cosi,
θ−
υ
=
υ
i2
e
.
Отсюда видно, что сопряженная скорость
υ
является зеркальным отобра-
жением υ относительно оси 0υ
x
. Плоскость Х0Y называется физической
плоскостью или плоскостью течения.
Совокупность значений комплексной скорости υ образует плоскость го-
дографа скорости или плоскость годографа. В этой плоскости располага-
ются годографы скорости, то есть геометрические места концов векторов
скоростей частиц жидкости, проведенных из начала координат.
Производная от комплексного потенциала:
yx
i
ie
dz
dw
υ−υ=υ=υ=
θ−
.

Страницы