Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 2. Загузов И.С - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

14
Тогда проекции скорости:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=υ
dz
dw
Re
x
;
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=υ
dz
dw
Im
y
.
Контурный интеграл от сопряженной скорости
υ
по замкнутому конту-
ру С в плоскости течения равен:
()
∫∫∫∫
ψ+ϕ==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=υ
CCCC
idddwdz
dz
dw
dz .
Вычисляя действительную и мнимую части этого интеграла, получим:
()
()
∫∫∫∫
∫∫∫∫
=υ+υ=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
=ψ=υ
=υ+υ=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
=ϕ=υ
CC
yx
CC
CC
yx
CC
.Qdxdydy
y
dx
x
ddzIm
;Гdydxdy
y
dx
x
ddzRe
Отсюда видно, что действительная часть контурного интеграла определяет
циркуляцию скорости Г по замкнутому контуру, а мнимая – секундный
объемный расход жидкости Q через замкнутый контур.
Рассмотрим несколько простых примеров комплексных потенциалов,
которые широко используются на практике:
а) линейная функция W(z)=az, где а –
в общем случае комплексная посто-
янная. Составляя сопряженную скорость
()
;esinicosiconsta
dz
dW
i
yx
α−
∞∞∞∞
∞
υ=α−αυ=υ−υ=υ====υ
видим, что комплексная константа представляет одинаковую по величине
и направлению во всем потоке сопряженную скорость. Одинаковой будет
и комплексная скорость
(
)
;esinicosi
i
yx
α
∞∞∞∞∞
υ=α+αυ=υ+υ=υ=υ
Следовательно, линейная функция определяет комплексный потенциал од-
нородного потока со скоростью
∞
υ
, наклоненного к действительной оси
физической плоскости под углом α (рис. 1).
()
(
)
zsinicoszezizW
i
yx
α−αυ=υ=υ−υ=υ=
∞
α−
∞∞∞
∞
.
Отделяя действительную и мнимую части,
найдем потенциал скоростей ϕ и функцию
тока ψ:
(
)
(
)
()( )
[]
α+α−+α+αυ=
=+α−αυ=
∞
∞
cosysinxisinycosx
iyxsinicosW
Так как w = ϕ + i ψ, то
(
)
()
yxcosysinx
yxsinycosx
xy
yx
∞∞∞
∞∞∞
υ+υ−=α+α−υ=ψ
υ+
υ
=
α
+
α
υ
=
ϕ
Здесь использованы соотношения z=x+iy; αυ=
υ
α
υ
=
υ
∞∞∞∞
sin,cos
yx
.
Рис.1

Страницы