Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 2. Загузов И.С - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

16
В нашем случае
r
2
Q
тогда,0,
r
2
Q
r
rln
2
Q
rr
π
=υ=υ=υ
π
=
∂
∂
π
=υ
θ
;
в) логарифмическая функция W=A lnz, где А – чисто мнимая величина,
равная Вi, где В – действительная константа. Тогда потенциалу W=Вilnz
будет соответствовать та же сетка кривых линий, что и во втором случае,
но только линии тока и изопотенциальные линии поменяются местами.
Картина линии тока соответствует цир-
куляционному движению жидкости во-
круг изолированного точечного
вихря,
расположенного в начале координат
(рис. 3).
Покажем это: поскольку в полярных ко-
ординатах z=r⋅e
iθ
, то
W = ϕ + iψ = Вi⋅lnz = Вi⋅(ln r+ iQ) =
= -Bθ+ iB⋅ln r.
Отсюда ϕ=-Bθ; ψ=Bln r,
так как
B2Bdd
2
0C
π−=θ−=ϕ=Γ
∫∫
π
, тогда
π
Γ
−=
2
B.
Следовательно, комплексный потенциал циркуляционного потока с данной
циркуляцией Г будет равен:
zln
i2
zlni
2
zlnBiW
π
Γ
=⋅
π
Γ
−=⋅= .
При этом знак циркуляции Г определяется как положительный в предпо-
ложении, что направление интегрирования по контуру выбирается в такую
сторону, чтобы при этом площадь, ограниченная контуром, оставалась
слева.
Далее
θ
π
Γ
=θ−=ϕ
2
B, rln
2
rlnB
π
Γ
−==ψ ,
iz2dz
zlnd
i2dz
dW
π
Γ
=
π
Γ
==υ ;
22
r
θ
υ+υ=υ ; 0
r
r
=
∂
ϕ
∂
=υ ;
r
2
r
1
π
Γ
=
θ∂
ϕ∂
=υ
θ
,
тогда
r
2π
Γ
=υ=υ
θ
.
Заметим, что как в случае источника (стока), так и в случае вихря распре-
деление абсолютной величины скорости будет:
в случае источника
r
2
Q
π
=υ , в случае стока
r
2π
Γ
=υ , то есть величина
скорости обратно пропорциональна расстоянию от источника (стока) или
вихря. В начале координат скорость бесконечно велика – начало координат
является особой точкой поля скоростей.
1.3. Математическая модель бесциркуляционного обтекания
Рис. 3

Страницы