Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 2. Загузов И.С - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

17
кругового цилиндра идеальной жидкостью
Для определения комплексного потенциала при бесциркуляционном обте-
кании кругового цилиндра радиусом a нужно решить уравнение нераз-
рывности
0
yx
y
x
=
∂
υ
∂
+
∂
υ∂
или
υ
div =0
при следующих граничных условиях:
а) при r=a υ
r
=0, т.к. проекция вектора скорости υ
r
перпендикулярна по-
верхности цилиндра (рис. 4);
б) при r
Æ∞ υ
r
=υ
∞
cosθ.
Решать уравнение неразрывности будем в
полярных координатах (r, θ). Его можно
получить, вводя так называемые коэффи-
циенты Ламэ:
2
i
2
i
2
i
i
g
z
g
y
g
x
H
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
,
где g
i
– криволинейные координаты.
Величины H
i
(параметры Ламэ)
имеют смысл коэффициентов пропорциональности в равенстве, выражаю-
щем связь между элементарным приращением dS
i
длины отрезка и прира-
щением соответствующей криволинейной координаты: dS
i
=H
i
dg
i
. Здесь
dS
1
, dS
2
, dS
2
– длины ребер элементарной ячейки; g
1
, g
2
, g
3
, – оси криволи-
нейных координат. Тогда dS
1
=H
1
dg
1
, dS
2
=H
2
dg
2
, dS
3
=H
3
dg
3.
2
1
2
1
2
1
1
g
z
g
y
g
x
H
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
,
2
2
2
2
2
2
2
g
z
g
y
g
x
H
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
= ,
2
3
2
3
2
3
3
g
z
g
y
g
x
H
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
.
Из векторного анализа известно:
()()()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
υ
∂
∂
+υ
∂
∂
+υ
∂
∂
=υ
213g
3
312g
2
321g
1321
HH
g
HH
g
HH
gHHH
1
div
v
.
В полярной системе координат криволинейными координатами являются
g
1
=r, g
2
=θ, связанные с декартовыми координатами следующими соотно-
шениями:
x = r cos(θ), y = r sin(θ).
Рис. 4

Страницы