Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 2. Загузов И.С - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

19
⎭
⎬
⎫
=−+
=ϑ+ϑ
0Rn'rR"Rr
0n''
22
2
(1.14)
Первое уравнение системы (1.14) – это однородное линейное уравнение
второго порядка, его решение имеет вид:
ϑ = С
1
cos(nθ) + С
2
sin(nθ). (1.15)
Второе уравнение системы (1.14) является уравнением Эйлера. Решение
этого уравнения ищется в виде: R=r
m
, тогда R’=m r
m-1
, R”=m(m-1)r
m-2
. Вно-
ся полученные значения во второе уравнение системы (1.14), получим сле-
дующее:
m(m-1) r
m
+m r
m
– n
2
r
m
= 0 ⇒ (m
2
– n
2
)r
m
= 0 ⇒ (m
2
– n
2
) = 0 и тогда m = ±n.
Следовательно, решение второго уравнения системы (1.14) следует искать
в следующем виде:
R = C
3
r
n
+ C
4
r
-n
. (1.16)
Тогда частный интеграл уравнения Лапласа (1.12) можно записать в сле-
дующем обобщенном виде:
[]
[
]
nn
r)nsin(D)ncos(Cr)nsin(B)ncos(A)()r(R),r(
−
θ+θ+θ+θ=θϑ=θϕ .
Общий интеграл исходного уравнения Лапласа для плоской задачи будет
равен сумме частных решений:
[][]
∑
∞
=
−
θ+θ+θ+θ=θϕ
1n
n
nn
n
nn
r)nsin(D)ncos(Cr)nsin(B)ncos(A),r( .(1.17)
Отыщем коэффициенты A
n
, B
n
, C
n
, D
n
, воспользовавшись граничными ус-
ловиями. Найдем
[][]
∑∑
∞
=
−−
∞
=
−
θ+θ−θ+θ=
∂
ϕ∂
1n
1n
nn
1n
1n
nn
r)nsin(D)ncos(Cnr)nsin(B)ncos(An
r
.
Возьмем второе граничное условие: при r →∞
)cos(
r
r
θυ=υ=
∂
ϕ
∂
∞
.
В этом случае при n=1, υ
∞
cos(θ) = A
1
cos(θ) и, следовательно, A
1
= υ
∞
. Дру-
гие коэффициенты A
2
= A
3
=… A
n
=0; B
1
= B
2
=… B
n
= 0 при всех осталь-
ных n>1. Тогда производную можно записать в следующем виде:
[]
∑
∞
=
−−
∞
θ+θ−θυ=
∂
ϕ∂
1n
1n
nn
r)nsin(D)ncos(C)cos(
r
.
Возьмем другое граничное условие: при r=a
Æ 0
r
r
=υ=
∂
ϕ
∂
. В этом случае
при n=1: 0 = υ
∞
cosθ - C
1
a
-2
cosθ, откуда С
1
= υ
∞
a
2
, C
2
= C
3
=…=C
n
=0 и
D
1
= D
2
= …= D
n
= 0 при всех n > 1.
Подставим все найденные значения коэффициентов A
n
, B
n
, C
n
и D
n
в об-
щий интеграл уравнения Лапласа (1.17) и получим искомый потенциал
скоростей:

Страницы