ВУЗ:
Составители:
20
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+θυ=θυ+θυ=θϕ
∞∞∞
r
a
rcoscos
r
a
cosr),r(
22
. (1.18)
Для нахождения характеристической функции W(z) надо найти ортого-
нальную к функции ϕ функцию тока ψ. Воспользуемся условиями Коши –
Римана, которые в полярной системе координат запишутся так:
θ∂
ψ
∂
=
∂
ϕ∂
r
r
;
r
r
∂
ψ
∂
−=
θ∂
ϕ
∂
.
Найдем производные
r
∂
ψ∂
и
θ∂
ψ
∂
.
θ∂
ϕ
∂
−=
∂
ψ∂
r
r
;
r
r
∂
ϕ
∂
=
θ∂
ψ
∂
.
Тогда с учетом (1.18)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+θυ−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+θυ−=
θ∂
ϕ∂
∞∞
2
22
r
a
1sinr
r
a
rsin и, следо-
вательно:
а)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+θυ=
θ∂
ϕ∂
−=
∂
ψ∂
∞
2
2
r
a
1sin
rr
;
б)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−θυ=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−θυ=
∂
ϕ∂
=
θ∂
ψ∂
∞∞
r
a
rcos
r
a
1cosr
r
r
2
2
2
, т.к. с учетом (1.18):
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−θυ=
∂
ϕ∂
∞
2
2
r
a
1cos
r
.
Интеграл от функции
θ
θ∂
ψ
∂
+
∂
ψ∂
=ψ ddr
r
d (как полного дифференциала) яв-
ляется криволинейным интегралом 2 рода. Берется он следующим обра-
зом: сначала интегрируем
r
∂
ψ∂
по r :
)(C
r
a
rsin
2
θ+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−θυ=ψ
∞
, затем по-
лученное выражение дифференцируем по θ:
)('C
r
a
rcos
2
θ+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−θυ=
θ∂
ψ∂
∞
.
Результат сравниваем с производной
θ∂
ψ
∂
, записанной ранее: получаем
0)('C =θ ,тогда С(θ)=const, и, следовательно,
const
r
a
rsin
2
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−θυ=ψ
∞
.
Итак, опуская константу, что не меняет физической картины течения, по-
лучаем
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−θυ=ψ
∞
r
a
rsin
2
. (1.19)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- …
- следующая ›
- последняя »
