Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 2. Загузов И.С - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

18
Найдем коэффициенты для нашего случая плоского обтекания:
1)sin()cos(
r
y
r
x
H
22
22
r
=θ+θ=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
= ,
r))cos(r())sin(r(
yx
H
22
22
=θ+θ−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
θ∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
θ∂
∂
=
θ
.
В криволинейных полярных координатах для плоского случая
()()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
υ
θ∂
∂
+υ
∂
∂
=υ
θθ
θ
rr
r
HH
rHH
1
div
v
.
Подставляя значения H
r
=1 и H
θ
=r, получим
() ()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
υ
θ∂
∂
+υ
∂
∂
=υ
θr
r
rr
1
div
v
.
Тогда уравнение неразрывности будет иметь вид:
() ()
0
r
1
r
r
r
1
r
=υ
θ∂
∂
+υ
∂
∂
θ
или
()
0
r
1
r
r
rr
=υ
θ∂
∂
+
υ
+
∂
υ
∂
θ
. (1.11)
Это и есть уравнение неразрывности в полярных координатах для плоского
течения.
В работах Жуковского вводится функция потенциала скорости, опреде-
ляемая соотношениями:
r
r
∂
ϕ
∂
=υ ;
θ∂
ϕ
∂
=υ
θ
r
1
, т.к. в полярных координатах
приращениями координатных линий являются
r
∂
и
θ
∂
r
. Тогда подставляя
в уравнение (1.11) выражения для υ
r
и υ
θ
, получим:
0
r
1
r
r
1
r
2
2
22
2
=
θ
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
. (1.12)
Это дифференциальное уравнение является уравнением Лапласа, записан-
ным для плоской задачи в полярной системе координат. Его можно решать
методом Пуассона, согласно которому )()
r
(R),
r
(
θ
ϑ
=
θ
ϕ
. Найдем произ-
водные из (1.12), учитывая, что R зависит только от r, а ϑ зависит только
от θ:
ϑ=
∂
ϕ
∂
'R
r
; ϑ=
∂
ϕ∂
"R
r
2
2
; "R
2
2
ϑ=
θ
∂
ϕ∂
.
Подставляя эти значения в уравнение Лапласа (1.12), получим:
0"R
r
1
'R
r
1
"R
2
=ϑ+ϑ+ϑ или, умножив на r
2
:
0R")"Rr'rR(
2
=ϑ++ϑ
.
Очевидно, что оно может быть записано в виде
2
2
n
R
)"Rr'rR("
−=
+
−=
ϑ
ϑ
. (1.13)
Такая запись справедлива, поскольку левая часть зависит только от ϑ, а
правая - только от R. Введем коэффициент – n
2
, который изменяется в
пределах (1 ≤ n ≤ ∞ ). Тогда уравнение (1.13) распадается на два:

Страницы