Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 2. Загузов И.С - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

25
а) при n=0: 0
"
=
ϑ
ϑ
и 0'r
R
"
R
r
2
=
+
. (1.26)
Это означает наличие вихря в начале координат с циркуляцией Г;
б) уравнения, охватывающие случаи 1 ≤ n ≤ ∞, которые были уже рас-
смотрены при бесциркуляционном обтекании кругового цилиндра.
Поскольку задача линейная, то комплексные потенциалы процессов а)
и б) складываются.
Итак, решаем систему уравнений а):
ϑ’(θ)=C
1
;
21
CdC)( +θ=θϑ
∫
;
21
CC)(
+
θ
=
θ
ϑ
.
Далее
r
'R
''R −= . Обозначим R’=p, тогда
r
p
'p −= , или
r
p
d
r
dp
−= . Разде-
ляя переменные, запишем:
r
dr
p
dp
−=
. Интегрируя, получим:
3
lnCr-ln pln += , потенциируем :
r
C
p
3
= или
r
C
d
r
dR
3
= .
Разделим переменные :
3
C
r
dr
dR =
.
Интегрируя, получим :
43
CCrlnR
+
⋅
=
.
Таким образом,
43
CCrln)r(R
+
⋅
= .
Так как ϕ(r,θ)=R(r)⋅ϑ(θ), то ϕ(r,θ)=(
21
CC
+
θ
)(
43
CCrln
+
⋅
).
Для нахождения констант используем граничное условие на поверх-
ности обтекаемого профиля: при r=a
Æ =
∂
∂
=υ
r
r
0.
Найдем
0C
r
1
)CC(
r
321r
=+θ=υ=
∂
ϕ∂
.
Поскольку
21
CC +θ =ϑ(θ)≠0, 0
r
1
≠ , то отсюда С
3
=0 и, следовательно,
можно записать ϕ(r,θ)=(
21
CC +θ )С
4
.
Отбрасывая константу С
2
⋅С
4
, что не меняет физического смысла зада-
чи, получим ϕ=Aθ.
Тогда
A=
θ∂
ϕ∂
, а
r
A
r
1
=
θ∂
ϕ∂
=υ
θ
, откуда θ∂
=
θ
∂
υ
=
∂
θ
Ar.
Для определения произвольной постоянной интегрирования А найдем
циркуляцию Г, равную
A2Ard
2
0CC
π=θ∂=θ∂υ=ϕ=Γ
∫∫∫
π
θ
.
Отсюда
π
=
2
A, следовательно, θ
π
=ϕ
2
;
π
=
θ∂
∂
2
. (1.27)
Определим теперь функцию ψ(r,θ), используя условия Коши-Римана
для полярных координат:

Страницы