Математические модели в аэрогидромеханике. Часть 2. Загузов И.С - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

55
Для дальнейшего упрощения задачи используем прием линеаризации,
который состоит в следующем. Выберем направление однородного потока,
совпадающее с направлением оси Ох, и обозначим через υ
∞
, p
∞
, ρ
∞
, a
∞
-
скорость, давление, плотность, скорость распространения звука в однород-
ном потоке. Возмущения, вносимые в этот поток тонким телом, обозначим
через υ’, p’, ρ’, a’, так что будем иметь:
υ
x
=υ
∞
+υ’
x
; υ
y
=υ’
y
; p= p
∞
+ p’; ρ=ρ
∞
+ρ’; a= a
∞
+ a’.
Величины, отмеченные штрихом, являются малыми по сравнению с
величинами без штрихов. Подчеркнем, что это допущение действительно
лишь для обтекания тонкого профиля. Подставим эти соотношения в урав-
нение газовой динамики (2.41) и опустим такие произведения, как
yx
''
υ
⋅
υ ,
x
'
'
x
x
∂
υ∂
⋅υ , положив их равными нулю как величины второго порядка мало-
сти. Тогда после преобразований получим:
0
y
'
a
x
'
)a(
y
2
x
2
x
2
=
∂
υ
∂
+
∂
υ∂
υ− , (2.44)
или
0
y
'
x
'
)M1(
y
x
2
=
∂
υ
∂
+
∂
υ∂
−
∞
. (2.45)
Последнее выражение является линеаризованным уравнением газовой ди-
намики.
Использование этого приема несколько ухудшает точность (по срав-
нению с численными методами решения), но задача решается намного
проще и физичнее.
Если имеет место потенциальное (безвихревое) течение, то
0
yx
x
y
=
∂
υ∂
−
∂
υ
∂
.
Это условие позволит ввести в рассмотрение потенциал скоростей ϕ(x,y) и
записать:
x
x
∂
ϕ
∂
=υ ;
y
y
∂
ϕ
∂
=υ
.
Применим к ϕ(x,y) этот же прием линеаризации: '
ϕ
+
ϕ
=
ϕ
∞
,
где ϕ - потенциал скоростей возмущенного потока, ϕ
∞
- потенциал скоро-
стей невозмущенного потока, ϕ’ – потенциал скоростей малых возмуще-
ний.
Тогда
x
'
x
x
∂
ϕ
∂
+
∂
ϕ∂
=υ
∞
;
y
'
y
y
∂
ϕ
∂
+
∂
ϕ
∂
=υ
∞
, но
0
y
=
∂
ϕ
∂
∞
, так как рассматриваем
тонкий профиль. Поскольку υ
x
=υ
∞
+υ’
x
, а υ
y
=υ’
y
, то можно записать, что

Страницы