ВУЗ:
Составители:
57
Для проверки этой гипотезы подставим эти соотношения в предыдущее
уравнение и получим:
0
xyyxxyyx
22
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂∂
ψ∂
ρ−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂∂
ψ∂
ρ=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
ψ∂
ρ−
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ψ∂
ρ
∂
∂
∞∞∞∞
,
то есть уравнение удовлетворяется.
Таким образом, связь между потенциалом скоростей ϕ и функцией тока ψ
возмущенного движения сжимаемого газа имеет вид:
yx
x
∂
ψ∂
ρ
ρ
=
∂
ϕ∂
=υ
∞
;
xy
y
∂
ψ
∂
ρ
ρ
−=
∂
ϕ∂
=υ
∞
,
где ρ
∞
- плотность невозмущенного однородного потока.
Если записать для функции тока возмущенного движения соотношение
ψ=ψ
∞
+ ψ’, то из условия существования функции тока:
y
x
∂
ψ∂
ρ=ρυ
∞
;
x
y
∂
ψ∂
ρ−=ρυ
∞
,
с учетом линеаризации имеем:
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
ρ−=υρ+ρ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
ρ=υ+υρ+ρ
∞
∞∞
∞
∞∞∞
x
'
x
')'(
y
'
y
)')('(
y
x
(2.48)
Перемножив почленно и убрав в левой части уравнений (2.48) члены вто-
рого прядка малости, получим:
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
∂
∂
−
∂
ψ∂
ρ−=
∂
∂
+
∂
ψ∂
ρ=++υρ
∞
∞
∞∞
∞
∞
∞∞∞∞∞
x
ψ'
ρυ'ρ
y
ψ'
ρ'υρυρ'
y
x
x
y
(2.49)
Здесь обычным шрифтом обозначены конечные величины, а выделенным
шрифтом обозначены величины первого порядка малости. Тогда, сравни-
вая конечные величины, приходим к следующему дифференциальному
уравнению:
y∂
ψ∂
ρ=υρ
∞
∞∞∞
, откуда
y∂
ψ
∂
=υ
∞
∞
. Интегрируя, получаем:
consty +υ=ψ
∞
, и тогда функция тока возмущенного движения:
C'y' +ψ
+
υ=ψ+ψ=ψ
∞∞
.
При сравнении величин первого порядка малости уравнений (2.49) полу-
чаем следующую систему равенств:
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
∂
∂
−=
∂
∂
=+
∞∞∞
x
ψ'
υ'
y
ψ'
ρ'υρρ'υ
y
x
(2.50)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- …
- следующая ›
- последняя »
