Математическое моделирование течений вязкой жидкости вблизи твердых поверхностей. Загузов И.С - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

27
Таким образом, приходим к уравнению (1.22).
Уравнения(1.21) и (1.22) определяют уравнения ламинарного пограничного
слоя в несжимаемой жидкости. Для решения задачи о пограничном слое выведем
интегральное соотношение Кармана
, выражающее теорему количеств движения
(теорему импульсов) в применении к потоку жидкости в области пограничного слоя.
Преобразуем оба уравнения в одно, для чего вычтем по отдельности из левой и
правой частей уравнения (1.22) уравнение (1.21):
()
[]
()
[]
()
∂
∂
∂
∂
∂
∂
xy
'
y
xx yx x
x
υυ υ υυ υ υ υ υ ν
υ
∞∞∞∞
−+ −+ −=−
2
2
Произведем почленное интегрирование по у от у=0 до у=
∞, при этом будем
пользоваться обычными производными (т. к. производную по времени мы опустили
в силу стационарности процесса):
()
[]
()
[]
()
d
x
dy
d
y
dy ' dy
y
dy
xx yx x
x
∂∂
∂
∂
υυ υ υυ υ υ υ υ ν
υ
∞
∞
∞
∞
∞∞
∞∞
−+ −+ −=−
∫∫∫∫
000
2
2
0
(1.23)
В первом члене левой части уравнения (1.23) воспользуемся правилом
допустимости перемены порядка дифференцирования и интегрирования, т.е.
получаем
()
d
x
dy
xx
∂
υυ υ
∞
∞
−
∫
0
.
Второй член левой части уравнения (1.23) имеет после интегрирования вид:
()
υυ υ
yx
y=0
y=
∞
∞
− .
Используя граничные условия, в соответствии с которыми при у=0
υ
х
=0 и υ
у
=0, а
при у=
∞ υ
х
=υ
∞
, получаем, что этот член уравнения
()
υυ υ
yx
y=0
y=
∞
∞
−=0 .
Тогда уравнение (1.23) примет вид
()
[]
()
d
dx
dy ' dy
y
xx x
x
y=0
y=
υυ υ υ υ υ ν
∞
∞
∞∞
∞
∞
−+ −=−
∫∫
00
∂υ
∂
.
Поскольку при у=
∞ → υ
х
=υ
∞
, то
∂υ
∂
x
y=
y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
∞
0 , т.к. υ
∞
не зависит от у. Тогда получим:
()
[]
()
d
dx
dy ' dy
y
xx x
x
y=0
w
υυ υ υ υ υ ν
τ
∞
∞
∞∞
∞
−+ −=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
∫∫
00
∂υ
∂ρ
. (1.24)

Страницы