Основы аэрогидромеханики. Часть II. Загузов И.С. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

23
V
Введем в рассмотрение интеграл
V
JAd=
∫
, где V - рассматриваемый
объем среды,
A
- любая скалярная, векторная или тензорная величина. Нас
интересует полная производная по времени:
V
dJ d
A
dV
dt dt
=
∫
. Найдем
dJ
dt
,
для чего запишем интеграл
: J
– - для момента времени
t :
V
JAd= V
∫
;
– - для момента времени
tt
+
∆ :
VVVV
J A dV A dV A dV
′′
−
′
′′
==+
′
∫
∫∫
.
Тогда
(
)
VVV
JJ J AAdV AdV
′
−
′′
−=∆= − +
∫∫
′
.
Разложим в ряд Тейлора выражение
)
A
A
′
−
:
A
AA t
t
∂
′
−
=∆+
∂
…
Поскольку приняли - малым, то ограничиваемся первым членом
разложения в ряд.
t∆
Представим малый объем среды
dV dS n
=
⋅∆ , где - направление
внешней нормали к площадке
.
n
dS
n
dV dS t
υ
=
⋅⋅∆, где
n
υ
- проекции век-
тора скорости
υ
на нормаль n
к площадке dS .
Тогда
n
VS
A
Jt dVtAd
t
S
υ
∂
′
∆=∆ +∆
∂
∫∫
.
Переходя к пределу, получим:
0
lim
n
t
VS
JdJ A
dV A dS
tdt t
υ
∆→
∆
∂
== +
∆∂
∫∫
.
Во втором интеграле вместо
A
′
взяли
A
, так как, при , 0t∆→
A
A
′
→ .
Перейдем в последнем соотношении к интегралу по объему, применив для
этого теорему Остроградского-Гаусса, которая читается так:
Поток векто-
ра через замкнутую поверхность S, ограничивающую некоторый объем
, равен интегралу по этому объему от дивергенции этого вектора
, т.е.
V
(
)
)
Sn
SS SV
F dS n dS dS div dV
υ
υυ υ υ
=⋅= ⋅ = =
∫∫ ∫∫

.
Тогда в нашем случае
)
VV
dJ A
dV div A dV
dt t
υ
∂
=+
∂
∫∫
или:
)
V
dJ A
div A dV
dt t
υ
∂
⎛
=+
⎜
∂
⎝⎠
∫
⎞
⎟
(1.1)

Страницы