Основы аэрогидромеханики. Часть II. Загузов И.С. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Это первое обобщенное интегральное соотношение Коши.
Найдем выражение для
(
)
div A
υ
, используя оператор Гамильтона:
(
)
(
)
(
)
()
(
)
div A A A A A div A
υ
υυυ υυ
=∇⋅ = ∇⋅ + ∇ = ⋅∇
⋅
+

. Тогда, под-
ставляя полученное выражение в формулу (4.1), получим:
(
)
V
dJ A
A
Adiv dV
dt t
υυ
∂
⎛⎞
=+⋅∇+
⎜⎟
∂
⎝⎠
∫
.
Поскольку сумма локальной и конвективно производных есть инди-
видуальная производная параметра, то:
й
(
)
dA
A
td
υ
t
∂
+⋅∇=
∂
.
Таким образом:
V
dJ dA
A
div dV
dt dt
υ
⎛
=+
⎜
⎝⎠
∫
⎞
⎟
(1.2)
Это второе обобщенное интегральное соотношение Коши.
Используем теперь обобщенные интегральные соотношения Коши
для вывода уравнения неразрывности. Рассмотрим интеграл
0
V
dJ d
dV
dt dt
ρ
==
∫
, где
ρ
– плотность среды. Этот интеграл означает фи-
зически, что масса индивидуального объема постоянна во времени или
изменение массы индивидуального объема сплошной среды по времени
равно нулю.
Возьмем первое обобщенное интегральное соотношение Коши (1.1).
Примем
А
ρ
= и будем иметь:
(
)
0
V
div dV
t
ρ
ρ
υ
∂
⎧⎫
+
=
⎨⎬
∂
⎩⎭
∫
.
Применим теорему о среднем, которая гласит:
Определенный инте-
грал равен произведению длины промежутка интегрирования
(
)
,ab на зна-
чение подынтегральной функции в некоторой точке
ξ
промежутка
(
)
,ab ,
т.е.
() ( ) ()
b
a
fxdx b af
ξ
=−
∫
(
)
ab
ξ
≤
≤ .
В нашем случае
(
)
(
)
V
div dV div
tt
ρρ
ρρ
υ
υυ
∂∂
⎧⎫⎧⎫
+=+
⎨⎬⎨⎬
∂∂
⎩⎭⎩⎭
∫
∆

.
Тогда
(
)
0div
t
ρ
ρ
υ
υ
∂
⎧⎫
+∆
⎨⎬
∂
⎩⎭

=
и учитывая, что малый объем среды
конечен, т.е. V∆ 0V
∆
≠ , то остается принять
24

Страницы