Основы аэрогидромеханики. Часть II. Загузов И.С. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Следовательно, потенциальные (безвихревые) течения несжимаемой
жидкости удовлетворяют уравнению Лапласа.
Выведем теперь уравнение неразрывности с точки зрения физическо-
го процесса. Для этого рассмотрим систему, имеющую постоянный по ве-
личине объем
. Через ее поверхность будет входить и выходить жид-
кость массой
V
mV
ρ
= . Изменение массы в единицу времени будет равно
V
md
t
V
ρ
∂
∆=
∂
∫
.
Рассмотрим поток вектора
ρ
υ
сквозь некоторую неподвижную замк-
нутую поверхность
произвольный формы постоянного объема . Если
количество втекающей жидкости не будет равно количеству вытекающей
жидкости (газа), то изменение этого объема будет равно
S V
n
S
md
ρ
S
υ
∆=
∫
.
Так как при постоянном объеме изменение массы может произойти только
за счет изменения плотности, то
n
SV
mdS
t
dV
ρ
ρ
υ
∂
∆= =−
∂
∫∫
.
Положительному значению
S
∫
соответствует некоторое количество
вытекающей жидкости, при этом
V
∫
будет отрицательным, т.к. при
уменьшении массы плотность убывает.
Применив теорему Остроградского-Гаусса, получим:
)
n
SV
dS div dV
ρρ
υ
υ
=
∫∫
и тогда
)
VV
dV div dV
t
ρ
ρ
υ
∂
−=
∂
∫∫
или
)
0
V
div dV
t
ρ
ρ
υ
∂
⎡⎤
+
=
⎢⎥
∂
⎣⎦
∫
.
Так как 0
, то рассматриваемый интеграл равен нулю, если равна ну-
лю подынтегральная функция, т.е.
dV ≠
)
0div
t
ρ
ρ
υ
∂
+
=
∂
. Это и есть диффе-
ренциальное уравнение ности в форме. Здесь неразрыв первой
(
)
(
)
(
)
()
)
div div
ρ
ρρ ρρ ρ
υ
υυυ υυ
=∇⋅ = ∇⋅ + ∇ = + ⋅∇
 
.
Подставляя это выражение в последнее уравнение, получим:
26

Страницы