Основы аэрогидромеханики. Часть II. Загузов И.С. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

z
zx zy zz
р
р i р j р k=++

, где
z
z
р
– проекция
вектора
z
р
на нормаль к
z
dS ; проекции
z
x
р
,
z
dS
zx
p
х
y
z
zy
p
zz
p
z
p
Рис. 5
z
y
р
лежат в плоскости
z
dS .
Здесь (см. рис. 5):
z
р
– вектор напряжений,
действующий на площадку
z
dS , расположенную
перпендикулярно оси
. z
Тогда в проекциях на оси декартовых коор-
динат векторное равенство (1.11) будет иметь вид:
,
,
,
nx xx x yx y zx z
ny xy x yy y zy z
nz xz x yz y zz z
р
р n р n р n
р
р n р n р n
р
р n р n р n
⎫
=++
=++
⎬
=++
⎭
(1.12)
Это равенства Коши в скалярной форме.
Приведенные записи позволяют сказать, что векторы напряжений (по-
верхностные единичные силы), есть не что иное, как столбцы:
x
x
x
xy
x
z
p
р
p
p
=
;
yx
yy
yz
y
p
р
p
p
=
z
x
z
zy
z
z
p
р
p
p
=
, где ,,
x
xyyzz
p
pp – нормальные на-
пряжения; , ,
x
yxzyz
p
pp и т.д. – касательные напряжения, а совокупность
всех напряжений – тензор напряжений
. P
Нормальные напряжения – это проекции векторов напряжений
,,
x
yz
р
рр

на нормали к соответствующим площадкам ,,
x
y
dS dS dS
z
, ка-
сательные напряжения
– это проекции векторов ,,
x
yz
р
рр

на оси, лежа-
щие в плоскости площадок.
Как известно, тензор напряжений симметричный, т.е.
x
yyx
p
p= ;
x
zzx
p
p=
yz zy
p
p=; ; – транспонированный тензор. Эти равенства
выражают теорему о взаимности касательных напряжений:
Если через ка-
кую-нибудь точку среды провести три взаимно перпендикулярные беско-
нечно малые площадки, то для каждых двух из них проекции вектора на-
пряжения, приложенного к одной из площадок, на нормаль к другой равны
между собой, т.е.
PP
∗
=
x
zzx
p
p=
31
;
x
yy
p
p
=
xyz zy
p
p
=
; и, следовательно, P P
∗
=
т.е. тензор напряжений симметричен.
Выводы из теоремы: 1) из девяти компонент тензора различными яв-
ляются только шесть; 2) порядок индексов при компонентах тензора мож-
но менять; 3)
n
PnPPn==
.

Страницы