ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
22
22
VV
dd
ud ud
dt dt
υυ
ρρ
⎛⎞ ⎛⎞
+= +
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
∫∫
vv
.
Рассмотрим интеграл
n
S
p
ds
υ
⋅
∫
G
G
в правой части уравнения (1.25). Так
как вектор напряжений , где – тензор напряжений, являю-
щийся симметричным, то
n
pnn==
GGG
P
P
P
(
)
(
)
(
)
n
SS S V
p
ds n ds n ds div d
υυυ
⋅= ⋅=⋅ =
∫∫ ∫∫
υ
G
GG
GG G
PP
v
G
P
)
.
Здесь применили теорему Остроградского-Гаусса:
Поток вектора
сквозь поверхность, ограничивающую данный объем, равен интегралу по
этому объему от дивергенции этого вектора
.
Отметим, что
(
υ
G
P
– это скалярное произведение тензора напряжений
на вектор скорости
P
υ
G
, являющееся вектором, а
(
)
(
)
div
υ
υ
=∇⋅
G
G
P
P
– это
скалярное произведение вектора
∇
(оператора Гамильтона) на вектор
(
)
υ
G
P
, являющееся скаляром.
Подставим полученные соотношения в уравнение баланса энергии
(1.25):
()
2
2
VVV
dd
u d F d div d qd
dt dt
υ
ρρυυ
⎛⎞
+=⋅+ +
⎜⎟
⎝⎠
∫∫∫
V
ρ
∫
G
G
G
vvv
P
v
. (1.26)
Это и есть уравнение энергии для конечных масс сплошной среды.
Если перенести влево все члены уравнения (1.26) и применить к полу-
ченному интегралу теорему о среднем, то получим следующее уравнение:
()
2
0
2
dd
uFdiv
dt dt
υ
ρρυυρ
⎡⎤
⎛⎞
+− ⋅− − Δ=
⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎣⎦
q
G
GG
P
v
.
Так как рассматриваемый малый объем среды конечен, т.е. , то
равным нулю будет выражение в квадратных скобках. Оставив в левой
части его производную по времени от полной энергии, получим:
0Δ≠
v
()
2
2
dd
uFdiv
dt dt
υ
ρρυυ
⎛⎞
+= ⋅+ +
⎜⎟
⎝⎠
q
ρ
G
G
G
P
. (1.27)
Выражение (1.27) является уравнением энергии для элементарного
объема сплошной среды. Оно выражает равенство между изменением пол-
ной энергии (кинетической и внутренней) элементарного объема движу-
щейся жидкости, с одной стороны, и работой массовых сил, работой на-
пряжений в жидкости на границах элементарного объема и переданным
теплом, с другой.
30
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »
