Электродинамика. Специальная теория относительности. Запрягаев С.А. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

11
F
λ µ
=
3
X
α,β=0
a
α
λ
a
β
µ
F
0
α β
. (1.22)
Связь ко- и контра-вариантных составляющих 4-векторов имеет вид:
A
µ
=
3
X
λ=0
g
µ λ
A
λ
, A
µ
=
3
X
λ=0
g
µ λ
A
λ
. (1.23)
16 элементов g
µ λ
= g
µ λ
образуют 4-тензор 2-го ранга, который имеет
специальное название “метрический тензор” и его компоненты равны: g
00
=
1, g
11
= g
22
= g
33
= −1, остальные g
α β
= 0(α 6= β). Соотношения (1.23)
фактически определяют правила “опускания” или “поднимания” индекса в
4-векторе или 4-тензоре
F
λ µ
=
3
X
α,β=0
g
λ α
g
µ β
F
α β
, F
λ µ
=
3
X
α=0
g
λ α
F
µ
α
и т.п.
Для 4-векторов определено следующие понятие скалярного
произведения:
A · B =
3
X
µ=0
A
µ
B
µ
=
3
X
µ=0
A
µ
B
µ
. (1.24)
Соответственно для 4-тензоров и 4-векторов определена операция
“свертки”, как сумма по одной или нескольким парам одноименных
индексов. Например свертка тензора F
α β
и 4-вектора A
β
есть сумма по
индексу β:
3
X
β=0
F
α β
A
β
≡ F
α β
A
β
= v
α
. (1.25)
В выражении (1.25) показана общепринятая условность опускания
изображения операции суммирования по одноменным ко- и контра-
вариантным индексам. В соответствии с данными определениями скалярное
произведение двух 4-векторов - есть свертка этих векторов.
Для тензоров определены обычные алгебраические понятия. Так
равенство тензоров означает, что равны компоненты тензоров A
αβ
=
C
αβ
. Сумма или разность
αβ
= A
αβ
± B
αβ
определяются в обычном
алгебраическом понимании для компонент тензоров.
Пример 1.10. Доказать, что матрицы лоренцовских преобразований

Страницы