Электродинамика. Специальная теория относительности. Запрягаев С.А. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
можно представить в виде диагональной матрицы у которой g
0
00
= 1, g
0
11
=
g
0
22
= g
0
33
= −1 Вычислим на основании (1.21) компоненты метрического
тензора в системе координат S, например:
g
00
= γ
0
0
γ
0
0
g
0
00
+ γ
0
1
γ
0
1
g
0
11
= Γ
2
(v) −
v
2
c
2
Γ
2
(v) = 1.
g
10
= γ
1
0
γ
0
0
g
0
00
+ γ
1
1
γ
0
1
g
0
11
=
v
c
Γ
2
(v) −
v
c
Γ
2
(v) = 0.
Аналогично проверяется выполнение (1.21) для остальных компонент g
λµ
и (1.22) для g
λµ
. В результате в системе координат S получим матрицу g,
являющейся диагональной матрицией с теми же элементами, что и g
0
.
Пример 1.13. Две системы отсчета движутся относительно
лабораторной системы координат со скоростями
~
v
1
и
~
v
2
. Доказать,
что их относительная скорость удовлетворяет соотношению:
v
2
=
(
~
v
1
−
~
v
2
)
2
− [
~
v
1
×
~
v
2
]
2
/c
2
[1 − (
~
v
1
·
~
v
2
)/c
2
]
2
. (1.28)
Воспользуемся определением 4-скорости: U
α
≡ dx
α
/dt
s
, где dt
s
-
бесконечно малый интервал собственного времени dt
s
= ds/c, ds -
бесконечно малый интервал. По определению 4-скорость есть 4-вектор, так
как dt
s
- инвариант, а dx
α
- 4 вектор. Запишем 4-скорости систем S
1
и S
2
в
системе отсчета, связанной с S
1
. По определению:
U
1
= (c,
~
0), U
2
=
cΓ(
~
v),
~
vΓ(
~
v)
. (1.29)
Здесь
~
v -относительная скорость движения системы координат S
2
по
отношению к системе координат S
1
. Так как U
1
, U
2
- 4-векторы, их
скалярное произведение инвариантно U
1
U
2
= U
0
1
U
0
2
.
В лабораторной системе 4-скорости систем S
1
и S
2
известны по условию
задачи:
U
0
1
=
cΓ(
~
v
1
),
~
v
1
Γ(
~
v
1
)
, U
0
2
=
cΓ(
~
v
2
),
~
v
2
Γ(
~
v
2
)
. (1.30)
Составляя скалярное произведение 4-векторов (1.29) и (1.30), получаем
уравнение для определения v.
c
2
Γ(
~
v) = c
2
Γ(
~
v
1
)Γ(
~
v
2
) − (
~
v
1
~
v
2
)Γ(
~
v
1
)Γ(
~
v
2
).
Возводя полученное равенство в квадрат находим:
c
2
− v
2
= c
2
(c
2
− v
2
1
)(c
2
− v
2
2
)
[c
2
− (
~
v
1
·
~
v
2
)]
2
.

Страницы