Электродинамика. Специальная теория относительности. Запрягаев С.А. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
γ из (1.18) и a из (1.20) удовлетворяют условию ортогональности:
3
X
α=0
γ
α
λ
a
ν
α
= δ
ν
λ
= δ
νλ
, (1.26)
где δ
ν
λ
или δ
νλ
- обычный (4-мерный) символ Кронекера.
Для доказательства рассмотрим совокупность 4-х переменных ct, x, y, z
и обозначим x
0
= ct, x
1
= x, x
2
= y, x
3
= z. В результате
соотношения (1.3) примут форму соотношения (1.18), т.е. так определенные
4-компоненты образуют 4-вектор, который называется 4-координата или
4-радиус вектор. На основании (1.22) ковариантный 4-радиус вектор имеет
следующие компоненты x
β
≡ (ct, −x, −y, −z). Запишем теперь скалярное
произведение 4-координат: x · x =
P
3
α=0
x
α
x
α
= c
2
t
2
− x
2
− y
2
− z
2
.
Как известно, такая величина, получившая название квадрат интервала,
является инвариантной величиной при преобразованиях Лоренца (см.
пример 1.1 ), т.е.:
P
α
x
α
x
α
=
P
α
x
0
α
x
0
α
= invar. Подставляя в левую часть
данного равенства преобразования ко- и контравариантных компонент 4-
векторов (1.18), (1.20) находим:
3
X
α=0
3
X
λ=0
γ
α
λ
x
0
λ
·
3
X
µ=0
a
µ
α
x
0
µ
=
3
X
λ,µ=0
3
X
α=0
γ
α
λ
a
µ
α
x
0
λ
x
0
µ
Так как последнее выражение должно быть равно
P
3
µ=0
x
0
µ
x
0
µ
, очевидно
что выполняется равенство (1.26)
Пример 1.11. Доказать, что для любых 4-векторов их скалярное
произведение является инвариантом при преобразованиях Лоренца,
т.е.:
A ·B =
X
µ
A
µ
B
µ
=
X
µ
A
0
µ
B
0
µ
= A
0
· B
0
= invar. (1.27)
Согласно (1.18), (1.20) и на основании (1.26) получим
A ·B =
3
X
µ=0
A
µ
B
µ
=
3
X
µ,λ,ν=0
γ
µ
λ
a
ν
µ
A
0
λ
B
0
ν
=
3
X
λ=0
A
0
λ
· B
0
λ
= A
0
B
0
.
Пример 1.12. Доказать, что объект, который называется
“метрический тензор” есть 4-тензор.
Для доказательства этого утверждения необходимо проверить, что
для метрического тензора выполняются соотношения (1.21) и (1.22).
Компоненты тензоров g
0
λ µ
и g
0
λ µ
в произвольной системе координат S
0

Страницы