Электродинамика. Теория излучения. Запрягаев С.А. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15
m и зарядом e. В последующее время t > 0 электрон движется под
действием электрического поля шара. Учитывая силу радиационного
трения, определить энергию dE
ω
дипольного излучения, приходящуюся
на интервал частот от ω до ω + dω (Задача №353 в [2]).
Сила радиационного трения — это сила, действующая на излучающую
заряженную частицу со стороны излучаемого частицей электромагнитного
поля. В случае, если скорость движения частицы v c, сила радиационного
трения имеет вид:
f =
2e
2
3c
3
...
r
, (24)
где e и r — заряд и радиус-вектор частицы.
Напряженность электрического поля, создаваемая заряженным шаром
внутри него, равна: E =
4
3
πρr. Следовательно, уравнение движения электрона
внутри шара с учетом силы (24) запишется в виде:
m¨r = −
4
3
πρ|e|r +
2e
2
3c
3
...
r
, или ¨r + ω
2
0
r −
2e
2
3c
3
m
...
r
= 0, (25)
где введено обозначение ω
2
0
=
4
3m
πρ|e|. Сила радиационного трения много
меньше кулоновской силы, поэтому уравнение (25) можно решать методом
последовательных приближений. Отбрасывая член с третьей производной в
уравнении (25), получаем: ¨r = −ω
2
0
r откуда
...
r
= −ω
2
0
˙r. Подставляя это
выражение в (25) и вводя обозначение: γ =
2e
2
ω
2
0
3c
3
m
, получаем следующее
уравнение:
¨r + γ ˙r + ω
2
0
r = 0. (26)
Так как электрон движется по прямой, выберем ось x в направлении движения
электрона. Общее решение дифференциального уравнения (26) в этом случае
с учетом γ ω
0
есть:
x(t) = exp(−
γ
2
t)(A cos ω
0
t + B sin ω
0
t).
Подставляя начальные условия x(0) = a, ˙x(0) = 0, находим A = a, B =
γa
2ω
0
.
В результате:
x(t) = exp(−
γ
2
t)(a cos ω
0
t +
γa
2ω
0
sin ω
0
t). (27)
Второе слагаемое в (27) можно отбросить, так как γ ω
0
. С учетом этого для
¨
d получим:
¨
d(t) = ω
2
0
|e|a exp(−
γ
2
t) cos ω
0
t.

Страницы