Магнитостатика. Запрягаев С.А. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
Обозначим значения векторного потенциал во внутренней и внешней
областях цилиндра следущим образом:
A
ϕ
(r) = A
1
, r ≤ R; A
ϕ
(r) = A
2
, r > R. (31)
В результате на основании (22) находим:
4 A
1ϕ
−
1
r
2
A
1ϕ
= −
4π
c
ρωr; 4A
2ϕ
−
1
r
2
A
2ϕ
= 0. (32)
Подставляя явный вид оператора 4 в цилиндрической системе координат,
получаем обыкновенные дифференциальные уравнения:
r
2
d
2
A
1ϕ
dr
2
+ r
dA
1ϕ
dr
− A
1ϕ
= −
4π
c
ρωr
3
,
r
2
d
2
A
2ϕ
dr
2
+ r
dA
2ϕ
dr
− A
2ϕ
= 0. (33)
Уравнения (33) должны быть решены с учетом граничных условий:
A
1ϕ
(R) = A
2ϕ
(R);
dA
1ϕ
dr
|
r=R
=
dA
2ϕ
dr
|
r=R
. (34)
Общее решение уравнений (33) необходимо искать в виде: A
iϕ
= const·r
s
.
В результате для s имеем алгебраическое уравнение второго порядка s(s −
1) + s − 1 = 0, решение которого есть: s
1
= 1, s
2
= −1. Таким образом,
общее решение однородных уравнений (33) имеет вид:
A
iϕ
= C
1i
r + C
2i
/r. (35)
Частное решение неоднородного уравнения (33) есть:
A
ϕ
= −
π
2c
ρωr
3
. (36)
Таким образом, с учетом (34) получаем окончательно:
A
1r
= A
1z
= 0; A
1ϕ
=
π
3
ρωr(R
2
− r
2
/2).
A
2r
= A
2z
= 0; A
2ϕ
=
π
2c
ρωR
4
/r. (37)
Вычисленное значение векторного потенциала легко может быть
использовано для нахождения вектора магнитной индукции, так как
~
B = rot
~
A. В данном примере следует обратить внимание на то, как
определяется оператор Лапласа от компонент вектора в криволинейной
системе координат (подробнее см. в [3],[5]).
                                                                         9


  Обозначим значения векторного потенциал во внутренней и внешней
областях цилиндра следущим образом:
             Aϕ (r) = A1 ,   r ≤ R;       Aϕ (r) = A2 ,   r > R.      (31)
  В результате на основании (22) находим:
                   1           4π               1
            4 A1ϕ −   A 1ϕ = −    ρωr; 4A  2ϕ −    A2ϕ = 0.     (32)
                   r2           c               r2
Подставляя явный вид оператора 4 в цилиндрической системе координат,
получаем обыкновенные дифференциальные уравнения:
                    d2 A1ϕ       dA1ϕ             4π
                   r2    2
                             + r      −  A 1ϕ = −    ρωr3 ,
                     dr           dr               c
                           2
                        2 d A2ϕ      dA2ϕ
                      r          + r       − A2ϕ = 0.           (33)
                           dr2        dr
  Уравнения (33) должны быть решены с учетом граничных условий:
                                    dA1ϕ        dA2ϕ
              A1ϕ (R) = A2ϕ (R);         |r=R =      |r=R .         (34)
                                     dr          dr
   Общее решение уравнений (33) необходимо искать в виде: Aiϕ = const·rs .
В результате для s имеем алгебраическое уравнение второго порядка s(s −
1) + s − 1 = 0, решение которого есть: s1 = 1, s2 = −1. Таким образом,
общее решение однородных уравнений (33) имеет вид:
                             Aiϕ = C1i r + C2i /r.                    (35)
  Частное решение неоднородного уравнения (33) есть:
                                     π
                            Aϕ = − ρωr3 .                      (36)
                                     2c
  Таким образом, с учетом (34) получаем окончательно:
                                          π
              A1r = A1z = 0;      A1ϕ = ρωr(R2 − r2 /2).
                                           3
                                             π
                  A2r = A2z = 0;      A2ϕ = ρωR4 /r.           (37)
                                             2c
  Вычисленное значение векторного потенциала легко может быть
использовано для нахождения вектора магнитной индукции, так как
~ = rot A.
B         ~ В данном примере следует обратить внимание на то, как
определяется оператор Лапласа от компонент вектора в криволинейной
системе координат (подробнее см. в [3],[5]).

Страницы