Магнитостатика. Запрягаев С.А. - 9 стр.

                                                                                         8


                                            ~ находим:
С учетом (19) на основании (25) для вектора B
                                         0               0
                               µ Z [~j(~
                                       r   ) × (~r  − ~r   )] 0
                   ~ = rot A
                   B       ~ =                     0 3       dv .                     (26)
                               c         | ~r − ~r |
  В случае линейного тока A     ~ и B
                                    ~ могут быть вычислены из уравнений
                          0   0       0                 0
(25), (26) с заменой ~j(~r )dv ⇔ I d~l , где элемент d~l направлен по току. В
частности, из (26) получаем:
                                              0              0

                         ~ r) = µ I
                                      Z   [d~l × (~r − ~r )]
                         B(~                                   .                      (27)
                                 c            | ~r − ~r 0 |3
Выражение (27) в соответствии с принципом суперпозиции эквивалентно
закону Био-Саввара-Лапласа:
                                              0

                                  ~   µ I [d~l × R]
                                                  ~
                                 dB =               ,                    (28)
                                       c       R3
     ~ - расстояние от элемента тока d~l до точки, в которой определяется
 где R
 значение поля.
    В ряде случаев использование формул (27), (28) позволяет получить
 значение поля, не прибегая к понятию векторного потенциала.
    Пример 1.2.1. Бесконечный цилиндр радиуса R с магнитной
 проницаемостью µ = 1, равномерно заряженный с объемной
 плотностью ρ = const, вращается вокруг своей оси с постоянной
 угловой скоростью ω         ~ . Найти векторный потенциал внутри и
 снаружи цилиндра. (См. задачу 219 в [1])
    Вращение цилиндра создает в пространстве ток с объемной плотностью
~j = ρ ~v = ρ [~r × ω
                    ~ ]. Таким образом, в цилиндрической системе координат:
          jr = jz = 0;     jϕ = ρ ω r      r ≤ R,           jϕ = 0,    r > R.         (29)
  Из условий симметрии ясно, что в цилиндрической системе Ar = Az = 0,
а Aϕ = Aϕ (r).
  В цилиндрической системе координат компоненты векторного
лапласиана 4A  ~ имеют вид [3]:

      ~ |r = 4Ar −   1        2 ∂Aϕ          ~ |ϕ = 4Aϕ −          1        2 ∂Aϕ
     4A                 A r −       ;       4A                        A ϕ +       ;
                     r2       r2 ∂ϕ                                r2       r2 ∂ϕ
                                  ~ |z = 4Az .
                                 4A                                                   (30)