Магнитостатика. Запрягаев С.А. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
Пример 1.2.2. Заряд Q равномерно распределен по объему шара
радиуса R. Найти напряженность магнитного поля в центре шара,
который вращается с угловой скоростью ~ω. µ = const. (См. задачу 170
в [1]).
Поместим начало координат в центр шара, направив ось Z вдоль вектора
~ω. В соответствии с (26) напряженность поля в центре шара имеет вид:
~
H(0) =
1
c
Z
[
~
r
0
×
~
j(r
0
)]
r
0
3
dv
0
. (38)
Объемная плотность тока
~
j(
~
r
0
) = ρ
~
v(
~
r
0
) = ρ [~ω ×
~
r
0
], где ρ = Q/(
4
3
πR
3
) .
В результате:
~
H(0) =
1
c
Z
ρ
r
0
2
~ω − ωz
0
~
r
0
r
0
3
dv
0
(39)
Интегрирование в (39) подынтегральных функций, содержащих
произведение декартовых координат x
0
z
0
и y
0
z
0
, являющихся нечетными
функциями по своим координатам, в симметричных пределах дает 0.
Оставшиеся слагаемые определяют значение вектора
~
H:
~
H(0) =
~ω
c
ρ
Z
x
0
2
+ y
0
2
r
0
dv
0
=
~ω
c
ρ
Z
sin
2
θ
0
r
0
dr
0
sin θ
0
dθ
0
dϕ
0
=
Q~ω
cR
. (40)
Пример 1.2.3. Найти поле в любой точке пространства,
создаваемое круговым линейным током силы I. Радиус кругового
тока R. Плотность тока в такой системе можно представить в
виде (ток в плоскости X-Y):
j
ϕ
= Iδ(cos θ
0
)
δ(r
0
− R)
R
. (41)
Нетрудно убедиться, что формула (41) действительно соответствует
круговому току силы I. Для этого проинтегрируем плотность тока по
сечению, ортогональному току. Если выбрать ds
0
= r
0
sin θ
0
dθ
0
dr
0
, то после
замены переменных cos θ
0
= x:
I =
Z
S
j
ϕ
0
ds =
I
R
Z
1
−1
δ(x) dx
Z
∞
0
δ(r
0
− R)r
0
dr
0
= I.
В силу симметрии системы, т.к.
~
j имеет лишь ϕ-составляющую, отличную
от нуля, то и
~
A имеет лишь одну составляющую, отличную от нуля -
A
ϕ
. Однако A
ϕ
нельзя вычислить непосредственно, подставляя j
ϕ
в (25),
так как векторное уравнение Пуассона (22) сводится к трем независимым
                                                                                 10


    Пример 1.2.2. Заряд Q равномерно распределен по объему шара
радиуса R. Найти напряженность магнитного поля в центре шара,
который вращается с угловой скоростью ω      ~ . µ = const. (См. задачу 170
в [1]).
    Поместим начало координат в центр шара, направив ось Z вдоль вектора
~ . В соответствии с (26) напряженность поля в центре шара имеет вид:
ω
                                          0      0

                      ~          1 Z [~r × ~j(r )] 0
                      H(0) =                       dv .                      (38)
                                  c        r 03
                                0            0             0
  Объемная плотность тока ~j(~r ) = ρ~v(~r ) = ρ [~ω × ~r ], где ρ = Q/( 43 πR3 ) .
В результате:
                                        0         0 0

                     ~         1 Z r 2ω   ~ − ωz ~r      0
                     H(0) =         ρ          03     dv                     (39)
                               c             r
Интегрирование в (39) подынтегральных функций, содержащих
                                           0
произведение декартовых координат x z 0 и y 0 z 0 , являющихся нечетными
функциями по своим координатам, в симметричных пределах дает 0.
Оставшиеся слагаемые определяют значение вектора H:          ~
                      0       0

    ~      ~ Z x2 +y2 0 ω
           ω                ~ Z       0 0         0  0  0  Q~ω
    H(0) = ρ         0 dv =   ρ sin2 θ r dr0 sin θ dθ dϕ =     . (40)
           c       r        c                              cR
  Пример 1.2.3. Найти поле в любой точке пространства,
создаваемое круговым линейным током силы I. Радиус кругового
тока R. Плотность тока в такой системе можно представить в
виде (ток в плоскости X-Y):
                                         δ(r0 − R)
                                          0
                         jϕ = Iδ(cos θ )           .                (41)
                                             R
  Нетрудно убедиться, что формула (41) действительно соответствует
круговому току силы I. Для этого проинтегрируем плотность тока по
                                                  0  0 0  0  0
сечению, ортогональному току. Если выбрать ds = r sin θ dθ dr , то после
                       0
замены переменных cos θ = x:
                  Z      I Z1            Z ∞
                                                0     0  0
           I = jϕ ds =    0     δ(x) dx      δ(r − R)r dr = I.
                S        R −1             0

  В силу симметрии системы, т.к. ~j имеет лишь ϕ-составляющую, отличную
              ~ имеет лишь одну составляющую, отличную от нуля -
от нуля, то и A
Aϕ . Однако Aϕ нельзя вычислить непосредственно, подставляя jϕ в (25),
так как векторное уравнение Пуассона (22) сводится к трем независимым

Страницы