Магнитостатика. Запрягаев С.А. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
Решение этой же задачи можно найти, используя разложения модуля
разности векторов по сферическим функциям:
A
ϕ
=
4πI
cR
X
l,m
Y
l,m
(θ, ϕ)
2l + 1
Z
r
0
2
dr
0
dΩ
0
δ(cos θ
0
)δ(r
0
−R)e
iϕ
0
r
l
<
r
l+1
>
Y
∗
l,m
(θ
0
, ϕ
0
), (50)
здесь r
>
, r
<
большая, меньшая из двух переменных r, R. Наличие
множителя exp(iϕ
0
) в подынтегральном выражении в (50) означает, что
отличны от нуля лишь слагаемые с m = 1. Выполняя интегрирования в (50),
находим:
A
ϕ
=
8π
2
IR
c
Re
∞
X
l=1
1
2l + 1
r
l
<
r
l+1
>
Y
l,1
(θ, ϕ)Y
∗
l,1
(
π
2
, ϕ
0
)exp(iϕ
0
). (51)
Используя явный вид сферической функции Y
∗
l,1
(
π
2
, ϕ
0
) [3], получаем:
Y
∗
l,1
(
π
2
, ϕ
0
) exp(iϕ
0
) =
v
u
u
t
2l + 1
4πl(l + 1)
P
1
l
(0). (52)
Здесь P
1
l
- присоединенный полином Лежандра [6]. В результате:
A
ϕ
= −
πIR
c
∞
X
n=0
(−1)
n
(2n −1)!!
2
n
(n + 1)!
·
r
2n+1
<
r
2n+2
>
· P
1
2n+1
(cos θ), (53)
где (2n −1)!! = 1 · 3 · 5 · ...(2n − 3) · (2n − 1).
Выражение (53) существенно проще для вычислений значения поля, чем
результат, представленый формулой (47).
Задание на дом: Решить задачи 2.4 - 2.8 на стр. 23.
1.3 Поле системы замкнутых токов на больших расстояниях. Магнитный момент
системы токов.
На больших расстояниях от области, где протекают замкнутые токи,
векторный потенциал и индукция магнитного поля принимают вид:
~
A ≈
[~µ ×
~
r]
r
3
,
~
B = rot
~
A ≈
3(~µ ·
~
n) ·
~
n −~µ
r
3
, (54)
где
~
n =
~
r/r,
~
r - радиус вектор точки наблюдения в системе координат,
в которой определена система токов
~
j, а ~µ - магнитный момент системы
замкнутых токов:
~µ =
1
2c
Z
[
~
r ×
~
j] dv ⇔
I
2c
I
[d
~
l ×
~
r]. (55)
                                                                                     12


  Решение этой же задачи можно найти, используя разложения модуля
разности векторов по сферическим функциям:
        4πI      Yl,m (θ, ϕ) Z 0 2 0 0        0    0       0 rl        0   0
                                                              <   ∗
                               r dr dΩ δ(cos θ )δ(r − R)eiϕ l+1
              X
 Aϕ =                                                           Yl,m (θ , ϕ ), (50)
        cR    l,m 2l + 1                                    r>
здесь r> , r< большая, меньшая из двух переменных r, R. Наличие
                  0
множителя exp(iϕ ) в подынтегральном выражении в (50) означает, что
отличны от нуля лишь слагаемые с m = 1. Выполняя интегрирования в (50),
находим:
                  8π 2 IR       ∞
                                X      1 r<  l
                                                             ∗ π     0       0
         Aϕ =             Re                l+1 Yl,1 (θ, ϕ)Yl,1 ( , ϕ )exp(iϕ ).   (51)
                     c          l=1 2l + 1 r>                    2
                                                                    0
                                            ∗ π
  Используя явный вид сферической функции Yl,1 ( 2 , ϕ ) [3], получаем:
                                                v
                       ∗ π                            2l + 1
                                                u
                               0        0
                                                               Pl1 (0).
                                                u
                     Yl,1 ( , ϕ ) exp(iϕ ) =    t                                  (52)
                           2                        4πl(l + 1)
Здесь Pl1 - присоединенный полином Лежандра [6]. В результате:
                           ∞ (−1)n (2n − 1)!! r 2n+1
                       πIR X
              Aϕ = −            n
                                             · <        1
                                                2n+2 · P2n+1 (cos θ),              (53)
                        c n=0 2 (n + 1)!      r>
где (2n − 1)!! = 1 · 3 · 5 · ...(2n − 3) · (2n − 1).
  Выражение (53) существенно проще для вычислений значения поля, чем
результат, представленый формулой (47).
  Задание на дом: Решить задачи 2.4 - 2.8 на стр. 23.

1.3 Поле системы замкнутых токов на больших расстояниях. Магнитный момент
    системы токов.

  На больших расстояниях от области, где протекают замкнутые токи,
векторный потенциал и индукция магнитного поля принимают вид:

                A~ ≈ [~µ × ~r] , B       ~ ≈ 3(~µ · ~n) · ~n − ~µ ,
                                 ~ = rot A                          (54)
                         r3                           r3
где ~n = ~r/r,~r - радиус вектор точки наблюдения в системе координат,
в которой определена система токов ~j, а ~µ - магнитный момент системы
замкнутых токов:
                                1 Z                I I ~
                         ~µ =       [~r × ~j] dv ⇔    [dl × ~r].                   (55)
                                2c                 2c

Страницы