Магнитостатика. Запрягаев С.А. - 14 стр.

                                                                                  13


  Для замкнутых линейных токов магнитный момент равен:
                                I ~S ~ Z
                               ~µ = , S = d~s.                          (56)
                                 c
 Интеграл в (56) вычисляется по произвольной поверхности, границей
 которой является линейный ток I. Если ток лежит в плоскости, то
 направление ~S связано с наравлением тока I правилом "правого винта".
    Пример 1.3.1. Установить связь магнитного момента с
 механическим для заряженной частицы массы m, заряда q,
 движущейся по замкнутой траектории.
    Механический момент ~l или момент импульса определяется в
 классической механике как вектор следущего вида: ~l = [~r × ~p], где
~r - радиус-вектор, а ~p -импульс частицы. Подставим в (55) величину
 плотности тока точечной заряженной частицы ~j(~r) = ρ~v = ~v(~r)qδ(~r − ~rq ).
 Здесь ~v -скорость движения частицы, ~rq - радиус-вектор положения заряда
 в пространстве. В результате:
               1 Z                              q                q ~
            ~µ =   [~r × ~vqδ(~r − ~rq )] dv =     [~rq × ~p] =     l. (57)
              2c                               2mc              2mc
  Данное соотношение выполняется и для системы N частиц с
одинаковыми зарядами и массами:
                              q ~                N                    N
                     ~ =
                     M           L;        ~ =
                                           M
                                                 X
                                                           ~ =
                                                       ~µ; L
                                                                      X
                                                                          ~l.
                             2mc                 i=1              i=1

  Пример 1.3.2. Доказать, что для замкнутых токов определение
магнитного момента системы токов не зависит от выбора начала
координат.
  Определения магнитного момента системы замкнутых токов в системах
               0
координат S и S следущие:
                         1 Z      ~            1 Z 0 ~ 0
                   ~µ =      [~r × j] dv; ~µ =    [~r × j] dv .                 (58)
                         2c                    2c
             0
Пусть ~r = ~r + ~a , с учетом (58) получим:
              1 Z           ~        1 Z              1     Z
         ~µ =     [~r − ~a × j] dv =     [~r × j] dv + [~a × ~j dv].
                                              ~                                 (59)
              2c                     2c               2c
Последнее слагаемое в (59) обращается в ноль в силу
                         Z             I               I
                             ~j dv =       I d~l = I       d~l = 0.