ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
11
скалярным уравнениям лишь в декартовых координатах. В криволинейных
ортогональных координатах дифференциальный оператор связывает все
составляющие вектора (см. [3], [5]). В цилиндрической системе координат
компоненты вектора 4
~
A представлены формулами (30), а в сферической
системе компоненты вектора 4
~
A приведены в упражнении 2.9 на стр 24.
Составляющие плотности тока в декартовых координатах имеют вид:
j
x
= −j
ϕ
sin ϕ
0
; j
y
= −j
ϕ
cos ϕ
0
. (42)
В силу цилиндрической симметрии задачи при вычислениях можно
выбрать точку наблюдения лежащей в плоскости xz , (т.е. ϕ = 0). Это
не уменьшит общности решения. При этом x-составляющая векторного
потенциала равна нулю и остается лишь y-составляющая. В результате:
A
ϕ
(r, θ) =
I
cR
Z
1
|
~
r −
~
r
0
|
δ(cos θ
0
)δ(r
0
− R) sin θ
0
dθ
0
dϕ
0
r
0
2
dr
0
. (43)
По определению модуль разности векторов |
~
r −
~
r
0
| равен:
q
r
2
− 2(
~
r ·r
0
) + r
0
2
=
q
r
2
− 2rr
0
(cos θ cos θ
0
+ sin θ sin θ
0
cos ϕ
0
) + r
0
2
. (44)
Подставляя (44) в (43), после интегрирования по dθ
0
и dr
0
находим:
A
ϕ
(r, θ) =
IR
c
Z
2π
0
cos ϕ
0
dϕ
0
q
R
2
− 2rR sin θ cos ϕ
0
. (45)
Данный интеграл выражается через полные эллиптические интегралы
K(x) и E(x) [6]:
K(x) =
Z
π/2
0
dα
√
1 − x
2
sin
2
α
; E(x) =
Z
π/2
0
q
1 − x
2
sin
2
α dα. (46)
Окончательно получим:
A
ϕ
(r, θ) =
4IR
c
√
R
2
+ r
2
+ 2rR sin θ
(2 − k
2
)K(k) − 2E(k)
k
2
, (47)
где аргумент эллиптических интегралов определяется выражением:
k
2
=
4rR sin θ
R
2
+ r
2
+ 2rR sin θ
. (48)
Составляющие вектора магнитной индукции определяются из:
B
r
=
1
r sin θ
∂
∂θ
(sin θA
ϕ
); B
θ
= −
1
r
∂
∂r
(rA
ϕ
); B
ϕ
= 0. (49)
11
скалярным уравнениям лишь в декартовых координатах. В криволинейных
ортогональных координатах дифференциальный оператор связывает все
составляющие вектора (см. [3], [5]). В цилиндрической системе координат
компоненты вектора 4A~ представлены формулами (30), а в сферической
системе компоненты вектора 4A ~ приведены в упражнении 2.9 на стр 24.
Составляющие плотности тока в декартовых координатах имеют вид:
0 0
jx = −jϕ sin ϕ ; jy = −jϕ cos ϕ . (42)
В силу цилиндрической симметрии задачи при вычислениях можно
выбрать точку наблюдения лежащей в плоскости xz , (т.е. ϕ = 0). Это
не уменьшит общности решения. При этом x-составляющая векторного
потенциала равна нулю и остается лишь y-составляющая. В результате:
I Z 1 0 0 0 0 0 0
2 0
Aϕ (r, θ) = 0 δ(cos θ )δ(r − R) sin θ dθ dϕ r dr . (43)
cR | ~r − ~r |
0
По определению модуль разности векторов | ~r − ~r | равен:
q q
r2 − 2(~r · r0 ) + r0 2 = r2 − 2rr0 (cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos ϕ0 ) + r0 2 . (44)
0 0
Подставляя (44) в (43), после интегрирования по dθ и dr находим:
0 0
IR Z 2π cos ϕ dϕ
Aϕ (r, θ) = q . (45)
c 0 R2 − 2rR sin θ cos ϕ0
Данный интеграл выражается через полные эллиптические интегралы
K(x) и E(x) [6]:
Z π/2dα Z π/2 q
K(x) = √ ; E(x) = 1 − x2 sin2 α dα. (46)
0 1 − x2 sin2 α 0
Окончательно получим:
4IR
(2 − k 2 )K(k) − 2E(k)
Aϕ (r, θ) = √ 2 , (47)
c R + r2 + 2rR sin θ k2
где аргумент эллиптических интегралов определяется выражением:
4rR sin θ
k2 = . (48)
R2 + r2 + 2rR sin θ
Составляющие вектора магнитной индукции определяются из:
1 ∂ 1 ∂
Br = (sin θAϕ ); Bθ = − (rAϕ ); Bϕ = 0. (49)
r sin θ ∂θ r ∂r
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
