Магнитостатика. Запрягаев С.А. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
Таким образом, ~µ = ~µ
0
и определение магнитного момента не зависит от
выбора начала отсчета системы координат.
Пример 1.3.3. В сферических координатах компоненты вектора
объемной плотности тока в одном из возбужденных состояний
атома водорода равны:
j
r
= j
θ
= 0 j
ϕ
=
e¯h
3
8
πma
7
r
3
exp(−
2r
3a
) sin θ cos
2
ϕ, (60)
где a -боровский радиус, ¯h -постоянная Планка, m и e - масса и
заряд электрона,r-расстояние до протона. Вычислить магнитный
момент тока.
По определению (55) магнитный момент тока равен:
~µ =
1
2c
Z
[
~
r ×
~
j] dv =
1
2c
Z
~
a
r
~
a
θ
~
a
ϕ
j
r
j
θ
j
ϕ
r
r
r
θ
r
ϕ
dv, (61)
где
~
a
r
,
~
a
θ
,
~
a
ϕ
- единичные векторы сферической системы координат, j
r
, j
θ
,
j
ϕ
-компоненты плотности тока в сферической системе координат, r
r
, r
θ
, r
ϕ
-компоненты радиус-вектора в сферической системе координат. Таким
образом, получаем:
~µ = −
1
2c
Z
~
a
θ
rj
ϕ
dv. (62)
Интегрирование в (62) удобно выполнить в сферической системе координат,
в которой dv = r
2
dr sin θ dθ dϕ. При этом следует иметь в виду, что базис
сферической системы координат меняется от точки к точке, и для
~
a
θ
имеем:
~
a
θ
=
~
i cos θ cos ϕ +
~
j cos θ sin ϕ −
~
k sin θ, (63)
где
~
i, j, k -базис декартовой системы координат. При интегрировании (62)
по углу ϕ вклад слагаемых при единичных векторах
~
i, j равен нулю, так как
интегрируется периодическая функция на полном периоде. В результате:
~µ =
e¯h
2c3
8
πma
7
Z
∞
0
r
6
exp(−
2r
3a
) dr
Z
π
0
sin
2
θ cos
2
θ dθ
Z
2π
0
dϕ
~
k =
e¯h
2mc
~
k. (64)
Пример 1.3.4. Согласно классической модели электрон
представляет собой однородно заряженный шар радиуса r
0
=
e
2
/mc
2
. Рассматривая магнитный спиновый момент как результат
вращения электрона вокруг своей оси симметрии, определить с
какой угловой скоростью должен вращаться электрон, чтобы его
                                                                                   14

                           0
Таким образом, ~µ = ~µ и определение магнитного момента не зависит от
выбора начала отсчета системы координат.
  Пример 1.3.3. В сферических координатах компоненты вектора
объемной плотности тока в одном из возбужденных состояний
атома водорода равны:
                                      eh̄  2r
              j r = jθ = 0 jϕ =              r3 exp(−
                                              ) sin θ cos2 ϕ, (60)
                                   38 πma73a
где a -боровский радиус, h̄ -постоянная Планка, m и e - масса и
заряд электрона,r-расстояние до протона. Вычислить магнитный
момент тока.
  По определению (55) магнитный момент тока равен:
                                                     ~ar   ~aθ   ~aϕ
                                                                   
                        1 Z               1    Z
                 ~µ =      [~r × ~j] dv =                                       (61)
                                                   
                                                   j       jθ    jϕ  dv,
                                                                      
                                                    r
                        2c                2c
                                                      rr    rθ    rϕ
где ~ar , ~aθ , ~aϕ - единичные векторы сферической системы координат, jr , jθ ,
jϕ -компоненты плотности тока в сферической системе координат, rr , rθ , rϕ
-компоненты радиус-вектора в сферической системе координат. Таким
образом, получаем:
                                        1 Z
                                 ~µ = −     ~aθ rjϕ dv.                  (62)
                                        2c
Интегрирование в (62) удобно выполнить в сферической системе координат,
в которой dv = r2 dr sin θ dθ dϕ. При этом следует иметь в виду, что базис
сферической системы координат меняется от точки к точке, и для ~aθ имеем:
                   ~aθ = ~i cos θ cos ϕ + ~j cos θ sin ϕ − ~k sin θ,            (63)
где ~i, j, k -базис декартовой системы координат. При интегрировании (62)
по углу ϕ вклад слагаемых при единичных векторах ~i, j равен нулю, так как
интегрируется периодическая функция на полном периоде. В результате:
           eh̄  Z ∞
                      6       2r      Z π
                                              2       2
                                                             Z 2π
                                                                    ~k = eh̄ ~k. (64)
  ~µ =              r   exp(−    ) dr     sin   θ cos   θ dθ      dϕ
       2c38 πma7 0            3a       0                      0         2mc
    Пример 1.3.4. Согласно классической модели электрон
представляет собой однородно заряженный шар радиуса r0 =
e2 /mc2 . Рассматривая магнитный спиновый момент как результат
вращения электрона вокруг своей оси симметрии, определить с
какой угловой скоростью должен вращаться электрон, чтобы его

Страницы